Fórmula de Euclides

[Vanderlucio]

A fórmula de Euclides para um terno Pitagórico \(a^2+b^2=c^2\) é dada por \(a=p(m^2-n^2); b=p(2mn)\) e \(c=p(m^2+n^2)\) e, segundo os livros, gera todos os ternos. Mas suponha que eu saiba apenas que \(b=p(2mn)\), como mostrar que as outras soluções têm necessariamente a forma desejada, mais especificamente, que \(a=p(m^2-n^2)\)?

[Rui Carpentier]

Vamos então ver que qualquer triplo pitagórico é necessariamente dessa forma (a menos de troca de a por b).
Seja (a,b,c) um triplo pitagórico (ou seja, \(a^2+b^2=c^2\)). Vamos considerar primeiro o caso em que a e b são primos entre si. Neste caso temos que a e b têm paridades diferentes, pois se fossem ambos pares não seriam primos entre si e se fossem ambos ímpares teríamos \(c^2=a^2+b^2\equiv 2 (mod 4)\) o que é impossível. Podemos então considerar b par e a ímpar (c também será ímpar).
Temos então que \(b^2=c^2-a^2=(c+a)(c-a)\). Como a e c são ambos ímpares temos que \(x=\frac{c+a}{2}\) e \(y=\frac{c-a}{2}\) são inteiros. Além disso, é fácil ver que são primos entre si (se d divide x e y então divide c=x+y e a=x-y que são primos entre si). Assim sendo, como xy é um quadrado perfeito (\(xy=\left(\frac{b}{2}\right)^2\)) temos que ambos são quadrados perfeitos \(x=m^2\) e \(y=n^2\). Logo temos as condições \(b=2mn\), \(a=m^2-n^2\) e \(c=m^2+n^2\).
Resta ver o caso dos triplos pitagóricos em a e b não são primos entre si. Mas um triplo (a,b,c) podem ser relacionado com um triplo (a',b',c') em que a' e b' são primos entre si pela multiplicação por p=m.d.c.(a,b), ou seja, a=pa', b=pb' e c=pc'.
Logo qualquer triplo pitagórico pode ser escrito da forma \(a=p(m^2-n^2) ~ , ~ b=p(2mn) ~ , ~ c=p(m^2+n^2)\).

[Vanderlucio]

Entendi sua resposta, mas ainda fiquei com uma dúvida. Temos que x e y são quadrados, esta parte, eu entendi, mas por que x não é um quadrado diferente de \(m^2\) e y um quadrado diferente de \(n^2\)?

[Vanderlucio]

Ah não! Espera aí, por hipótese c=x+y e a=x-y! Haha! Muito obrigado mesmo, Rui!