06 jun 2014, 05:07
resolução da equação exponencial: 25*9^x + 16*15^x = 9.25^x
o conjunto solução é 2, mas não entendo por que, alguem poderia me ajudar?
08 jun 2014, 17:58
Olá Vinicius550,
boa tarde!
\(25 \cdot 9^x + 16 \cdot 15^x = 9 \cdot 25^x\)
\(25 \cdot (3^2)^x + 16 \cdot (3 \cdot 5)^x = 9 \cdot (5^2)^x\)
\(3^x \cdot \left ( 25 \cdot 3^x + 16 \cdot 5^x \right ) = 3^2 \cdot 5^x \cdot 5^x\)
\(\underbrace{3^x}_{a} \cdot \underbrace{\left ( 25 \cdot 3^x + 16 \cdot 5^x \right )}_{b} = \underbrace{3^2}_{a} \cdot \underbrace{5^x \cdot 5^x}_{b}\)
Condição I:
\(3^x = 3^2 \\\\ \fbox{\fbox{x = 2}}\)
Condição II:
\(25 \cdot 3^x + 16 \cdot 5^x = 5^x \cdot 5^x\)
\(25 \cdot 9 + 16 \cdot \underbrace{5^x}_{k} = \underbrace{5^x}_{k} \cdot \underbrace{5^x}_{k}\)
\(225 + 16k = k^2\)
\(k^2 - 16k - {225} = {0}\)
\((k - 25)(k + 9) = 0\)
\(\fbox{S = \left \{ - 9, 25 \right \}}\)
Por conseguinte,
\(5^x = k \begin{cases} 5^x = - 9, x \notin \; \mathbb{R} \\ 5^x = 25 \Rightarrow 5^x = 5^2 \Rightarrow \fbox{\fbox{x = 2}}\end{cases}\)
Espero ter ajudado!