Dízima periódica igual a número exato?

[zilu]

Pessoal,
Bom dia!

A representação de uma dízima períodica simples em forma de fração fica assim:

\(0,33333... =\) \(\frac{3}{9} = \frac{1}{3}\)

Mas por que isso ocorre?

\(0,99999.... = \frac{9}{9} = 1 ???\)

Se 0,9999... é uma dízima por que ele fica igual a 1 (número exato)?

Obrigada!

[Fraol]

Olá, zilu.


Como você posta que
\(0,33333... =\frac{3}{9}\)

Então:
\(0,1111... =\frac{1}{9}\)

Se muliplicarmos ambos os membros desta última expressão por 9, teremos:
\(9 \times 0,1111... = 9 \times \frac{1}{9}\)

Ou seja:
\(0,9999... = 1\).

[zilu]

Mas então significa que 1 é igual à dizima 0,999999... ? Ou seja, não é um numero exato?
Nao consegui compreender

Obrigada

[Fraol]

Mas então significa que 1 é igual à dizima 0,999999...? Ou seja, não é um numero exato?
Nao consegui compreender

Sim, é um pouco estranho à primeira vista. Devemos admitir o seguinte fato: um número pode ter outras representações.
No nosso caso, o número racional (inteiro e natural) \(1\) tem na dízima periódica \(0.999...\) sua outra representação, que é a expansão decimal dele com infinitas casas após a vírgula.

Se você quiser mais informações a esse respeito você pode encontrar algumas aqui.

[Sobolev]

Se já estudou séries geométricas pode pensar do seguinte modo:

\(0.999999(9) = 9 \times (\frac{1}{10}+ \frac{1}{100} + \frac{1}{1000}+ \cdots ) = 9 \times \sum_{n=1}^{+\infty} (1/10)^n = \cdots\)