Exercício com raiz cúbica

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Boa tarde, não consigo mostrar que \(\frac{-2(x+1)}{3(x-1)^3\sqrt[3]{(\frac{x^2+1}{(x-1)^2}})^2}\) é igual \(\frac{-2(x+1)}{3(x^2+1)(x-1)}*\sqrt[3]{\frac{x^2+1}{(x-1)^2}}\)

[David Andrade]

Podemos ignorar os numeradores \(-2(x+1)\). Repare que, dessa forma, basta provar que \(3(x-1)^3\sqrt[3]{\left ( \frac{x^2+1}{(x-1)^2} \right )^2} = \frac{3(x^2+1)(x-1)}{\sqrt[3]{\frac{x^2+1}{(x-1)^2}}}\). Ora, passando aquele denominador que está do lado direito a multiplicar para o lado esquerdo, temos que: \(3(x-1)^3\left ( \sqrt[3]{\frac{x^2+1}{(x-1)^2}} \right )^3 = 3(x^2+1)(x-1)\). Cortando a raiz cúbica com o expoente \(3\), temos: \(3(x-1)^3\times\frac{x^2+1}{(x-1)^2} = 3(x^2+1)(x-1)\). Esta última igualdade é claramente verdadeira. Como todas as igualdades escritas aqui são equivalentes entre si e equivalentes com a igualdade escrita por si, concluímos a igualdade do enunciado.

[fff]

Obrigada pela resposta. O enunciado não era mostrar que uma expressão é igual à outra, era calcular a derivada de uma função e calculando essa derivada, cheguei à expressão\(\frac{-2(x+1)}{3(x-1)^3\sqrt[3]{(\frac{x^2+1}{(x-1)^2}})^2}\), mas a resposta era \(\frac{-2(x+1)}{3(x^2+1)(x-1)}*\sqrt[3]{\frac{x^2+1}{(x-1)^2}}\). O meu objetivo era saber como simplificar a expressão para chegar ao resultado que encontrei nas soluções do livro.

[David Andrade]

Por enunciado queria dizer o que tinha escrito aqui no fórum! :D

E, já agora, em matemática, tende-se a apresentar os resultados (em forma de fração) com um denominador escrito, sempre que possível, sem raízes. Para que isso aconteça, faz-se uma coisa chamada "racionalização do denominador", o que significa "tornar o denominador racional". Ora, para racionalizar o denominador, na sua expressão da esquerda, bastaria multiplicar os dois termos da fração pela raiz cúbica de (x^2+1)/(x-1)^2 e também chegaria ao resultado pretendido.