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Uma maneira de resolver (talvez a única) é usando o teorema fundamental de aritmética (TFA): "qualquer número natural factoriza-se de forma única (a menos de ordenação dos termos) num produto de números primos".
Por isso, qualquer par de números naturais, \(m\) e \(n\), tem um (único) máximo divisor comum, \(m.d.c.(m,n)\). Temos que \(\frac{m}{n}\) é irredutível se e só se \(m.d.c.(m,n)=1\) (i.e. \(m\) e \(n\) são primos entre si). Se \(\frac{p}{q}\) * não é irredutível então \(p=km'\) e \(q=kn'\) onde \(k=m.d.c.(p,q)\) e \(\frac{p}{q}=\frac{m'}{n'}\) com \(\frac{m'}{n'}\) irredutível. Portanto o problema resume-se a provar que não existem frações irredutíveis distintas com o mesmo valor (i.e. \(\frac{m}{n}=\frac{m'}{n'}\Rightarrow m=m'\) e \(n=n'\)). Para tal volta-se a usar o TFA:
\(\frac{m}{n}=\frac{m'}{n'}\) implica que \(\frac{mn'}{n}=m'\) é inteiro, logo \(n\) divide \(mn'\), como \(n\) é coprimo com \(m\) tem-se que \(n\) divide \(n'\). O mesmo raciocínio funciona para mostrar que \(n'\) divide \(n\) e portanto \(n=n'\) e \(m=m'\).
*- Infeliz escolha de notação. Normalmente a letra \(p\) usa-se para números primos pelo que \(\frac{p}{q}\) lembra ao leitor mais uma fração irredutível que o contrário.
PS- O uso do TFA não está muito explícito reconheço, mas penso com um pouco de reflexão chega lá.
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