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Em exames de sangue realizados em 500 moradores de uma região com péssimas condições sanitárias foi constatada a presença de três tipos de vírus:A,B e C.O resultado dos exames revelou que o vírus A estava presente em 210 moradores;o vírus B em 230;os vírus A e B, em 80;os vírus A e C,em 90;e os vírus B e C,em 70.Além disso,em 05 moradores não foi detectado nenhum dos três tipos de vírus e o número de moradores infectados pelo vírus C era igual ao dobro dos infectados apenas pelo vírus B.Com base nessa situação julgue os ítens abaixo:

I.O número de pessoas contaminadas pelos três vírus simultaneamente representa 9% do total de pessoas examinadas.
II.O número de moradores que apresentam o vírus C é 230.
III.345 moradores apresentam somente um dos tipos de vírus.
IV.Mais de 140 moradores apresentam pelo menos,dois vírus.
V.O número de moradores que não foram contaminados pelos vírus B e C representa menos de 16% do total de pessoas examinadas


eu já achei uma resolução na internet entendi o raciocínio, em partes. vou postá-la se alguém puder me ajudar ficarei grato!

não entendi o 40+x e 80+x, pois os mesmos representam a parte de quem tem somente o vírus A e somente o vírus B, não deveria ser 40-x e 80-x já que x representa a intersecção das três doenças?

Não, o diagrama está totalmente correto. O conjunto \(A-(B\cup C)\) representa os indivíduos que possuem apenas o vírus A, mas não os vírus B nem C, bem como o conjunto \(B-(A\cup C)\) representa os indivíduos que possuem apenas o vírus B, mas não os vírus A nem C. Vou usar a notação \(\textrm{n}\) para indicar a quantidade de elementos de certo conjunto. Para que os valores correspondam aos informados no enunciado do problema, deve-se ter, de fato

\(\textrm{n}(A-(B\cup C))=40+x \textrm\)
\(\textrm{n}(B-(A\cup C))=80+x \textrm\)

Para o vírus A, o número total de pessoas contagiadas \(\textrm{n}(A)\)é 210. A soma das quantidades de elementos de todas as partes de A deve resultar em 210. Basta verificar desse jeito

\(\textrm{n}(A)=\textrm{n}(A-( B\cup C))+\textrm{n}((A\cap B)-C)+\textrm{n}((A\cap C)-B)+\textrm{n}(A\cap B\cap C)\)
\(\textrm{n}(A)= (40+x)+(80-x)+(90-x)+x\)
\(\textrm{n}(A)=40+80+90+x-x-x+x\)

Note que os termos em \(x\) se cancelam, resultando em

\(\textrm{n}(A)=40+80+90\Rightarrow \textrm{n}(A)=210\)

De modo análogo, para o vírus B, pode-se verificar que

\(\textrm{n}(B)=\textrm{n}(B-(A\cup C)+\textrm{n}((B\cap A)-C))+\textrm{n}((B\cap C)-A)+\textrm{n}(A\cap B\cap C)\)
\(\textrm{n}(B)=(80+x)+(80-x)+(70-x)+x\)
\(\textrm{n}(B)=80+80+70+x-x-x+x\)

Novamente, os termos em \(x\) se cancelam, e verificamos que

\(\textrm{n}(B)=80+80+70\Rightarrow \textrm{n}(B)=230\)

O problema informa ainda que o número de moradores infectados pelo vírus C era igual ao dobro dos infectados apenas pelo vírus B. O conjunto que representa os infectados apenas pelo vírus B é \(B-(A\cup C)\). Assim, devemos ter

\(\textrm{n}(C)=2\textrm{ }\times \textrm{ }\textrm{n}(B-(A\cup C))\)
\(y+(90-x)+x+(70-x)=2\textrm{ }\times \textrm{ }(80+x)\)
\(y+90+70-x=160+2x\)
\(y=160+2x-90-70+x\)
\(y=3x\)

Para encontrarmos o valor de \(x\), basta usarmos a informação do total de entrevistados é igual a 500. Dessa forma, somando os elementos de todas as partes do diagrama de Venn, temos

\((40+x)+(80+x)+(3x)+(90-x)+(80-x)+(70-x)+x+5=500\)
\(40+x+80+x+3x+90-x+80-x+70-x+x=500-5\)
\(40+80+90+80+70+x+x+3x-x-x-x+x=495\)
\(3x=495-40-80-90-80-70\)
\(3x=135\)
\(x=\frac{135}{3}\Rightarrow x=45\)

Encontrado o valor de \(x\), pode-se substituir e encontrar as quantidades de cada parte do diagrama. Veja imagem anexa.

Com isso, basta verificar se cada proposição é verdadeira ou falsa.

Não, o diagrama está totalmente correto. O conjunto A-(BuC) representa os indivíduos que possuem apenas o vírus A, mas não os vírus B nem C.


Mas minha dúvida está justamente aí, pois A-(BuC) deve ter os elementos que somente o A tem, no entanto, X=(AuBuC), sendo assim X Tem elementos de B e C então pelo meu raciocínio 40-x seria o correto, isto que não entra na minha cabeça. Se puder me ajudar a entender, já faz uma semana que estou com tal dúvida.

Só uma correção: \(x\) é o número de elementos do conjunto \(A \cap B \cap C\), ou seja, o número de pessoas que possuem os vírus A, B e C ao mesmo tempo, e não o número de elementos de \(A \cup B \cup C\). Sendo assim, devemos ter

\(\text{(1) }\text{n}\left(A \cap B \cap C \right)=x\\ \\\)

É melhor tratarmos \(x\) como apenas uma variável que será carregada nos desenvolvimentos para encontrar todas as relações a seguir. E pelas especificações do enunciado do problema, podemos escrever as seguintes relações:

\(\text{(2) }\text{n}\left(A\right)=210\\ \\ \text{(3) }\text{n}\left(B\right)=230\\ \\ \text{(4) }\text{n}\left(A \cap B\right)=80\\ \\ \text{(5) }\text{n}\left(A \cap C\right)=90\\ \\ \text{(6) }\text{n}\left(B \cap C\right)=70\\ \\ \text{(7) }\text{n}\left(\overline{A \cup B \cup C}\right)=5 \Rightarrow \text{n}\left(A \cup B \cup C\right)=500-5=495\\ \\ \text{(8) }\text{n}\left(C\right)=2 \cdot n\left(B-\left(A \cup C \right ) \right )\)

A pergunta é, a partir da equaçao \(\text{(1)}\), como encontrar as relações que faltam? Elas são:

\(\text{(9) }\text{n}\left(A-\left(B \cup C \right ) \right)=?\\ \\ \text{(10) }\text{n}\left(B-\left(A \cup C \right ) \right)=?\\ \\ \text{(11) }\text{n}\left(C-\left(A \cup B \right ) \right)=?\\ \\ \text{(12) }\text{n}\left(\left( A \cap B\right )-C \right)=?\\ \\ \text{(13) }\text{n}\left(\left( A \cap C\right )-B \right)=?\\ \\
\text{(14) }\text{n}\left(\left( B \cap C\right )-A \right)=?\\ \\\)

Vamos por partes. Todas as relações a seguir podem ser obtidas observando o diagrama de Venn:


\(\text{(12) }\) encontrando o número de pessoas que possuem os vírus A e B, mas não possuem o vírus C:

\(\text{n}\left(\left( A \cap B\right )-C \right)+\text{n}\left(A \cap B \cap C \right)=\text{n}\left(A \cap B\right)\\ \\ \text{n}\left(\left( A \cap B\right )-C \right)+x=80\\ \\ \text{n}\left(\left( A \cap B\right )-C \right)=80-x\)


\(\text{(13) }\) encontrando o número de pessoas que possuem os vírus A e C, mas não possuem o vírus B:

\(\text{n}\left(\left( A \cap C\right )-B \right)+\text{n}\left(A \cap B \cap C \right)=\text{n}\left(A \cap C\right)\\ \\ \text{n}\left(\left( A \cap C\right )-B \right)+x=90\\ \\ \text{n}\left(\left( A \cap C\right )-B \right)=90-x\)


\(\text{(14) }\) encontrando o número de pessoas que possuem os vírus B e C, mas não possuem o vírus A:

\(\text{n}\left(\left( B \cap C\right )-A \right)+\text{n}\left(A \cap B \cap C \right)=\text{n}\left(B \cap C\right)\\ \\ \text{n}\left(\left( B \cap C\right )-A \right)+x=70\\ \\ \text{n}\left(\left( B \cap C\right )-A \right)=70-x\)

As relações \((12)\), \((13)\) e \((14)\) já estavam indicadas no diagrama que você postou primeiramente.

A sua dúvida é sobre as relações \((9)\) e \((10)\) terem a parcela \(x\) somada e não subtraída. Observando o diagrama de Venn com bastante atenção, e utilizando as informações obtidas do enunciado e as já calculadas acima, obtemos as seguintes relações:


\(\text{(9) }\) encontrando o número de pessoas que possuem apenas o vírus A, mas não possuem os vírus B nem C:

\(\overbrace{\text{n}\left(A-\left(B \cup C \right ) \right)}^{\text{ (A, mas nao B nem C) }}+\overbrace{\text{n}\left(\left(A \cap B \right )-C \right)}^{\text{ (A e B, mas nao C) }}+\overbrace{\text{n}\left(\left(A \cap C \right )-B \right)}^{\text{ (A e C, mas nao B) }}+\overbrace{\text{n}\left(A \cap B \cap C \right )}^{\text{ (A, B e C) }}=\text{n}\left(A \right )\)

\(\text{n}\left(A-\left(B \cup C \right ) \right)+\left(80-x \right )+\left(90-x \right)+x=210\\ \\ \text{n}\left(A-\left(B \cup C \right ) \right)=210-\left(80-x\right )-\left(90-x \right )-x\\ \\ \text{n}\left(A-\left(B \cup C \right ) \right)=210-80+x-90+x-x\\ \\ \text{n}\left(A-\left(B \cup C \right ) \right)=210-80-90+x+\not{x}-\not{x}\\ \\ \text{n}\left(A-\left(B \cup C \right ) \right)=40+x\)


\(\text{(10) }\) encontrando o número de pessoas que possuem apenas o vírus B, mas não possuem os vírus A nem C:

\(\overbrace{\text{n}\left(B-\left(A \cup C \right ) \right)}^{\text{ (B, mas nao A nem C) }}+\overbrace{\text{n}\left(\left(A \cap B \right )-C \right)}^{\text{ (A e B, mas nao C) }}+\overbrace{\text{n}\left(\left(B \cap C \right )-A \right)}^{\text{ (B e C, mas nao A) }}+\overbrace{\text{n}\left(A \cap B \cap C \right )}^{\text{ (A, B e C) }}=\text{n}\left(B \right )\)

\(\text{n}\left(B-\left(A \cup C \right ) \right)+\left(80-x \right)+\left(70-x \right )+x=230\\ \\ \text{n}\left(B-\left(A \cup C \right ) \right)=230-\left(80-x \right)-\left(70-x \right )-x\\ \\ \text{n}\left(B-\left(A \cup C \right ) \right)=230-80+x-70+x-x\\ \\ \text{n}\left(B-\left(A \cup C \right ) \right)=230-80-70+x+\not{x}-\not{x}\\ \\ \text{n}\left(B-\left(A \cup C \right ) \right)=80+x\)


\(\text{(11) }\) encontrando o número de pessoas que possuem apenas o vírus C, mas não possuem os vírus A nem B:

\(\overbrace{\text{n}\left(C-\left(A \cup B \right ) \right)}^{\text{ (C, mas nao A nem B) }}+\overbrace{\text{n}\left(\left(A \cap C \right )-B \right)}^{\text{ (A e C, mas nao B) }}+\overbrace{\text{n}\left(\left(B \cap C \right )-A \right)}^{\text{ (B e C, mas nao A) }}+\overbrace{\text{n}\left(A \cap B \cap C \right )}^{\text{ (A, B e C) }}=\text{n}\left(C \right )\)

\(\text{n}\left(C-\left(A \cup B \right ) \right)+\left(90-x \right)+\left(70-x \right )+x=y\\ \\ \text{n}\left(C-\left(A \cup B \right ) \right)=y-\left(90-x \right)-\left(70-x \right )-x\)

Mas, pela equação \((8)\), temos que

\(y=\text{n}\left(C \right )=2 \cdot \text{n}\left(B-\left(A \cup C \right ) \right )\\ \\ y=2\cdot \left(80+x \right )\\ \\ y=160+2x\)

Então

\(\text{n}\left(C-\left(A \cup B \right ) \right)=\left(160+2x \right )-\left(90-x \right)-\left(70-x \right )-x\\ \\ \text{n}\left(C-\left(A \cup B \right ) \right)=160+2x-90+x-70+x-x\\ \\ \text{n}\left(C-\left(A \cup B \right ) \right)=160-90-70+2x+x+\not{x}-\not{x}\\ \\ \text{n}\left(C-\left(A \cup B \right ) \right)=3x\)

Para encontrar o valor de \(x\), basta somar os elementos de todas as regiões do diagrama e igualar ao número total de pessoas. Assim, com já havia feito antes, encontramos

\(x=35 \text{ pessoas}\).

Agora, com o valor de \(x\) conhecido, pode-se substutuir nas outras relações e encontrar o número de elementos de cada subconjunto.

obrigado! agora eu entendi. vlw msm.

Por nada! Fico bastante satisfeito sabendo que você entendeu. Fiquei preocupado com o tamanho da resposta dificultar a compreensão...

Disponha. É um prazer ajudar!