Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá recentemente desenvolvi certo interesse por matemática e estou tentando correr atrás do tempo perdido durante o ensino médio, recentemente esbarrei nesse exercício e não consegui obter o resultado esperado que deveria ser a+b pelo que consta no livro, alguém pode me explicar como chegar nisso ?

Podemos começar simplificando a expressão \(\frac{2a\sqrt{1+x^2}}{x+\sqrt{1+x^2}} = 2a\frac{\sqrt{1+x^2}}{x+\sqrt{1+x^2}}\) para focar na divisão.

Veja que:
\(\sqrt{x^2 + 1} = \sqrt{\frac{1}{4}\left(\frac{a}{b}-2\sqrt{\frac{a}{b}\frac{b}{a}}+\frac{b}{a}\right) + 1} = \sqrt{\frac{\left(\frac{a}{b}-2+\frac{b}{a}\right)}{4} + 1} = \sqrt{\frac{\left(a^2-2ab+b^2\right) + 4ab}{4ab}} = \sqrt{\frac{\left(a^2+2ab+b^2\right)}{4ab}} = \sqrt{\frac{\left(a+b\right)^2}{4ab}} = \frac{a+b}{2\sqrt{a}\sqrt{b}}\)

E que, portanto:
\(x+\sqrt{1+x^2} = \frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{b}}{2\sqrt{a}}+\frac{a+b}{2\sqrt{a}\sqrt{b}} = \frac{a-b+a+b}{2\sqrt{a}\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)

Logo:
\(\frac{\sqrt{1+x^2}}{x+\sqrt{1+x^2}} = \frac{\left( \frac{a+b}{2\sqrt{a}\sqrt{b}} \right)}{\left( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \right)} = \frac{\left(a+b\right)\sqrt{b}}{2a\sqrt{b}} = \frac{a+b}{2a}\)


Concluindo que \(2a\frac{\sqrt{1+x^2}}{x+\sqrt{1+x^2}} = 2a\frac{a+b}{2a} = a+b\)

Muito obrigado :3