Determinar qual das opções dadas é múltiplo de determinado número

[danjr5]

Qual dos números abaixo é um múltiplo de 34?

a) \(3^{54} + 5^{54}\)

b) \(3^{54} +4^{54}\)

c) \(2^{54} + 5^{54}\)

d) \(27^{54} + 7^{54}\)

e) \(27^{27} + 9^{27}\)

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Razão: Inserir LaTeX.

[danjr5]

Qual dos números abaixo é um múltiplo de 34?

a) \(3^{54} + 5^{54}\)

b) \(3^{54} +4^{54}\)

c) \(2^{54} + 5^{54}\)

d) \(27^{54} + 7^{54}\)

e) \(27^{27} + 9^{27}\)

Olá Fernando!

Em se tratando de uma soma de potências em que o expoente é ímpar, temos o desenvolvimento abaixo, veja:

\(a^n + b^n = (a + b) \left ( a^{n - 1} - a^{n - 2} \cdot b^1 + a^{n - 3} \cdot b^2 - ... + a^2 \cdot b^{n - 3} - a^1 \cdot b^{n - 2} + b^{n - 1} \right )\)

Avaliemos as opções:

Item a)

\(\\ 3^{54} + 5^{54} = \\\\ (3)^{2 \cdot 27} + (5)^{2 \cdot 27} = \\\\ (3^2)^{27} + (5^2)^{27} = \\\\ (9)^{27} + (25)^{27}\)

Aplicando a fórmula, temos que:

\((9)^{27} + (25)^{27} = \\\\ (9 + 25)(9^{27 - 1} - 9^{27 - 2} \cdot 25^1 + 9^{27 - 3} \cdot 25^2 - ... + 9^2 \cdot 25^{27 - 3} - 9^1 \cdot 25^{27 - 2} + 25^{27 - 1}) = \\\\ 34 \cdot (9^{26} - 9^{25} \cdot 25 + 9^{24} \cdot 25^2 - ... + 9^2 \cdot 25^{24} - 9 \cdot 25^{25} + 25^{26})\)

Portanto, \(34 | (3^{54} + 5^{54})\).

[jorgeluis]

Fernando,
um meio alternativo é pegar o menor divisor do expoente.

veja:

expoente 54:

a) menor divisor = 2
\(3^2 + 5^2 = 34 (V)\)

b) menor divisor = 3 (não pode ser 2 porque o resultado seria 25, que é menor que 34)
\(3^3 + 4^3 = 91 (F)\)

c) menor divisor = 3 (não pode ser 2 porque o resultado seria 29, que é menor que 34)
\(2^3 + 5^3 = 133 (F)\)

d) menor divisor = 2
\(27^2 + 7^2 = 778 (F)\)

expoente 27:

d) menor divisor = 3
\(27^3 + 9^3 = 20412 (F)\)