O mais menor número natural

[Linda]

Qual é o menor número natural cujo quadrado termina com os dígitos \(2001\)
?

[jorgeluis]

Linda,
se o quadrado do nº termina em 2001, e pede-se o menor natural, então, basta verificar sua raiz, sabendo que este é inteiro e termina em 1 ou 9.
Assim,
\(x2001\)
onde:
\(\left \{x\in \mathbb{N}^* \right \}\)

testando:
\(sqrt{12001}\approx 109,54
sqrt{22001}\approx 148,32
sqrt{32001}\approx 178,88
sqrt{42001}\approx 204,94
sqrt{52001}\approx 228,03
sqrt{62001}=249\)

ou seja,
o nº é 249.

[Linda]

Obrigada,mas meu professor disse que usaria congruências para resolvê-lo. Como eles devem ser usados?

[jorgeluis]

Linda,
se x2001 termina em 1, certamente sua raiz termina em 9. Isso significa que, provavelmente, é múltiplo de 3 ou 9.
Acreditando que seja múltiplo de 9, fazemos:

\(x2001\equiv 0 mod.9
x2001=x.10^n+2.10^3+1
n \geq 4
x \in \mathbb{N}^{*}\)
e
\(10 \equiv 1 mod.9\)
entao, para
\(n=4
e
x < 9\)
temos
\(x.10^4+2.10^3+1 \equiv {0} mod.9
x.1^4+2.1^3 +1 \equiv {0} mod.9
x+2+1 \equiv {0} mod.9
x+3 \equiv {0} mod.9\)

conclusão,
\(x=6
\sqrt{62001}=249\)