07 jan 2013, 13:36
Preciso provar por um método que não seja o indutivo, que 1+2^(6n+1) é divisivível por 3, para qualquer n inteiro maior ou igual a um
14 jan 2013, 14:37
Pode-se usar o facto de que se \(x\) é um número que não é múltiplo de três então \(x^2\) é igual a um múltiplo de três mais um (em linguagem de aritmética modular \(x\not\equiv 0 \mbox{mod} 3 \Rightarrow x^2\equiv 1 \mbox{mod} 3\)). Assim sendo, \(2^{6n}=\left(2^{3n}\right)^2\) é igual a um múltiplo de três mais um, ou seja, \(2^{6n}=3k+1\). Logo, \(1+2^{6n+1} = 1+2\times 2^{6n} = 1+2(3k+1) = 6k+3=3(2k+1)\)* é múltiplo de três.
* caso a fórmula não esteja a ser visualizada (está-me a acontecer comigo) ela é : 1+2^{6n+1} = 1+2\times 2^{6n} = 1+2(3k+1) = 6k+3=3(2k+1)