(PUC) Divisores de 2^{48} - 1

[danjr5]

Ache dois divisores diferentes, entre \(60\) e \(70\), do número \(2^{48} - 1\).

[Rui Carpentier]

Sabendo que \(2^6=64\), que \(48=6\times 8\) e que \(x^8-1=(x^4-1)(x^4+1)=(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)\), temos que \(2^6-1=63\) e \(2^6+1=65\) são divisores de \(2^{48}-1=(2^6)^8-1\).

[danjr5]

Rui Carpentier,
boa noite!
Obrigado pela resposta.
O raciocínio que usei para responder a questão, se não foi o mesmo que empregou, passou bem perto [risos]! Com isso, gostaria de saber, e, se fosse \(2^{48} + 1\)?

Segue a maneira como fiz:

\(2^{48} - 1 =\)

\((2^{24} + 1)(2^{24} - 1) =\)

\((2^{24} + 1)(2^{12} + 1)(2^{12} - 1) =\)

\((2^{24} + 1)(2^{12} + 1)\underbrace{(2^{6} + 1)}\underbrace{(2^{6} - 1)} =\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \fbox{63} \:\:\:\:\:\: \fbox{65}\)

Desde já agradeço!

[Rui Carpentier]

Para \(2^{48}+1\) o máximo que consigo é usar \(x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\), pelo que fica:
\(2^{48}+1=(2^{16}+1)(2^{32}-2^{16}+1)\)

O primeiro fator \(2^{16}+1=2^{2^{4}}+1\) é o quarto/quinto e maior primo de Fermat conhecido, o segundo fator não faço ideia se é primo ou composto.

[danjr5]

Ok!
Mais uma vez, muito obrigado.