28 abr 2013, 23:59
Desafio do dia: Encontre o menor número primo N em que as seguintes sentenças sejam todas verdadeiras:
I) O maior fator primo de N-1 é A;
II) O maior fator primo de A-1 é B;
III) O maior fator primo de B-1 é 7.
30 abr 2013, 00:56
Olá, boa noite,
Como B-1 tem como maior fator primo 7, então B-1 é múltiplo de 7:
\(B-1 = 7 \cdot R \Rightarrow B = 7R+1\)
Como B é o maior fator primo de A - 1, então A-1 é múltiplo de B:
\(A-1 = B \cdot Q \Rightarrow A = B \cdot Q + 1\)
Como Á é o maior fator primo de N - 1, então N-1 é múltiplo de A:
\(N-1 = A \cdot P \Rightarrow N = A \cdot P + 1\)
Substituindo nessa última expressão os correspondentes das expressões anteriores teremos:
\(N = ((7R+1) \cdot Q + 1) \cdot P + 1\)
(Puxa! grande coisa, estávamos com as incógnitas N, A e B e agora temos N, P, Q e R ...)
A diferença agora é que P, Q e R são parâmetros, pois o problema pede o menor primo N que satisfaz as condições. Assim deveremos ter P, Q e R sendo os menores valores possíveis.
Por inspeção verificamos que P = Q = R = 1 não serve pois N seria 10.
Então, novamente por inspeção de valores podemos concluir que para \(P=Q=1\) e \(R=2\) temos \(N = 17\), o menor primo.