Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Mostre que o número x= \(\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6...}}}\) é Natural.

Bom dia,

A primeira conclusão que tiramos é que \(x = \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6...}}}\) é um número positivo.

Agora elevando ao quadrado, ambos os lados da igualdade vem:

\(x^2 = 6+\sqrt{6+\sqrt{6...}} \Leftrightarrow x^2 = 6 + x \Leftrightarrow\).

\(x^2 - x - 6 = 0\)

Agora, lembrando a primeira conclusão acima, basta resolver essa quadrática.

Depois que você concluir coloque a sua resposta aqui pra gente ou, se necessário, comente suas dúvidas.

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Fraol
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Opa!!! Muito obrigado amigo!

Eu resolvi a quadrática e encontrei x= -2 e x= 3, como se trata de um número pertencente aos Naturais então a resposta seria x= 3.

Mas me restou apenas uma dúvida, quando você elevou os dois membros da equação ao quadrado, porque você tirou o 6 da operação de radiciação ?

Perguntei isso por se tratar de uma soma, então ao elevar ao quadrado eu entendi que o resultado daria \(\sqrt{36+\sqrt{6+\sqrt{6...}}}\)

Minha dúvida foi a retirada do 36 da raiz, pois por ser uma soma, ao meu ver isso não seria possível.

Muito obrigado novamente pela atenção!

Abraços.

Oi,

Se você tivesse a seguinte expressão: \(x = \sqrt{9}\) então \((x)^2 = (\sqrt{9})^2\) o que seria equivalente a \((x)^2 = 9\) ( observando novamente que devemos ter \(x\) positivo ).

Em outras palavras, deixando de lado maiores formalismos, se elevamos uma raiz quadrada ao quadrado então cancelamos o radical com o expoente 2.

Logo, o que sobra disso é exatamente o que estava dentro do radical. Veja:

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Fraol
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Ah sim! Agora compreendi! Me desculpa pelo transtorno, e muito obrigado novamente! Você me ajudou bastante!

Espero encontrar mais professores com essa vontade como você!

Haha, forte abraço!