O número real N = ... Envolve raíz cúbica e raiz quadrada.
11 mai 2013, 22:06
Olá a todos. Tudo Bem? Sou novo aqui e realmente preciso de uma resolução para esta questão. O resultado dessa conta é 4 (eu usei calculadora científica), mas sabendo que está é uma questão de prova e eu estou estudando para o vestibular, gostaria que me indicassem maneiras rápidas ou no mínimo que dêem para resolver no tempo disposto pelo vestibular. Obrigado
O número Real N = RaizCubica(20+14vezesRaizQuadrada(2)) + RaizCubica(20-14vezesRaizQuadrada(2)) é:
a) irracional positivo
b) irracional negativo
c) racional não inteiro
d) inteiro não quadrado perfeito
e) quadrado perfeito
P.S: A raiz cúbica engloba todos os números entre parênteses, já a Raiz quadrada, apenas o 2.
O número Real N = RaizCubica(20+14vezesRaizQuadrada(2)) + RaizCubica(20-14vezesRaizQuadrada(2)) é:
a) irracional positivo
b) irracional negativo
c) racional não inteiro
d) inteiro não quadrado perfeito
e) quadrado perfeito
P.S: A raiz cúbica engloba todos os números entre parênteses, já a Raiz quadrada, apenas o 2.
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Re: O número real N = ... Envolve raíz cúbica e raiz quadrada.
13 mai 2013, 21:55
Boa tarde,
Tentei desenvolver calculando os cubos, mas me enrolei pois recorrentemente obtinha uma soma de cubos e tinha que calcular novamente os tais cubos ... , então não foi um bom caminho, agora se você chamar
\(a = (20+14 \cdot sqrt(2))^{1/3}\)
e
\(b = (20 - 14 \cdot sqrt(2))^{1/3}\)
então fazendo
\(x = a + b\) temos que \(x = (20+14 \cdot sqrt(2))^{1/3} + (20 - 14 \cdot sqrt(2))^{1/3}\)
\(y = a \cdot b\) temos que \(y = (8)^{1/3} = 2\)
Agora, calculando \(x^3 = (a + b)^3\)teremos:
\(x^3 = a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2\) (cubo da soma)
\(x^3 = 40 + 3ab( a + b )\) (colocando ab em evidência)
\(x^3 = 40 + 3 y x\)
\(x^3 = 40 + 6x\)
ou
\({x}^{3} - {6x} - {40} = {0}\)
E agora?
Nem sempre é fácil resolver essas equações cúbicas, aliás para resolvê-las satisfatoriamente é que foram criados os números complexos. Mas o enunciado fala que N é real, então não custa nada examinar alguns valores (inteiros para facilitar as contas) para verificar se são ou não raiz: 1 não, 2 não, 3 não, 4 sim. ( desse jeito foi fácil pois você já tinha dito que N = 4 ) De qualquer forma é uma estratégia.
Obs: As outras duas raízes são complexas, dá pra calcular, basta fatorar a última expressão em função de (x-4).
Tentei desenvolver calculando os cubos, mas me enrolei pois recorrentemente obtinha uma soma de cubos e tinha que calcular novamente os tais cubos ... , então não foi um bom caminho, agora se você chamar
\(a = (20+14 \cdot sqrt(2))^{1/3}\)
e
\(b = (20 - 14 \cdot sqrt(2))^{1/3}\)
então fazendo
\(x = a + b\) temos que \(x = (20+14 \cdot sqrt(2))^{1/3} + (20 - 14 \cdot sqrt(2))^{1/3}\)
\(y = a \cdot b\) temos que \(y = (8)^{1/3} = 2\)
Agora, calculando \(x^3 = (a + b)^3\)teremos:
\(x^3 = a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2\) (cubo da soma)
\(x^3 = 40 + 3ab( a + b )\) (colocando ab em evidência)
\(x^3 = 40 + 3 y x\)
\(x^3 = 40 + 6x\)
ou
\({x}^{3} - {6x} - {40} = {0}\)
E agora?
Nem sempre é fácil resolver essas equações cúbicas, aliás para resolvê-las satisfatoriamente é que foram criados os números complexos. Mas o enunciado fala que N é real, então não custa nada examinar alguns valores (inteiros para facilitar as contas) para verificar se são ou não raiz: 1 não, 2 não, 3 não, 4 sim. ( desse jeito foi fácil pois você já tinha dito que N = 4 ) De qualquer forma é uma estratégia.
Obs: As outras duas raízes são complexas, dá pra calcular, basta fatorar a última expressão em função de (x-4).
Re: O número real N = ... Envolve raíz cúbica e raiz quadrada.
13 mai 2013, 23:46
Olá, obrigado por me responder. Eu consegui chegar a uma solução. Boa Noite.
Re: O número real N = ... Envolve raíz cúbica e raiz quadrada.
14 mai 2013, 00:21
Valeu!
A propósito,
Você não gostaria de postar aqui essa outra solução na qual chegou para nosso conhecimento aqui no forum?
Grato,
A propósito,
Leocondeuba Escreveu:Olá, obrigado por me responder. Eu consegui chegar a uma solução. Boa Noite.
Você não gostaria de postar aqui essa outra solução na qual chegou para nosso conhecimento aqui no forum?
Grato,
Re: O número real N = ... Envolve raíz cúbica e raiz quadrada.
14 mai 2013, 01:12
Sim, me desculpe por não ter mostrado antes, pois estava no tablet. A resolução é a seguinte:
\(20+14\sqrt{2} = 8 + 12\sqrt{2} + 12 + 2\sqrt{2} = 2^3 + 2^2.3.\sqrt{2} + 3.2.(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^3 = (2+\sqrt{2})^3\)
Com o outro é só fazer a mesma coisa. Depois tirar a raiz e resolver.
\(20+14\sqrt{2} = 8 + 12\sqrt{2} + 12 + 2\sqrt{2} = 2^3 + 2^2.3.\sqrt{2} + 3.2.(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^3 = (2+\sqrt{2})^3\)
Com o outro é só fazer a mesma coisa. Depois tirar a raiz e resolver.
Re: O número real N = ... Envolve raíz cúbica e raiz quadrada.
14 mai 2013, 14:08
Bom dia, muito boa essa solução.