Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Não consegui resolver!

Sendo:

\(x = \frac{(2 + \sqrt{3})^{1997} + (2-\sqrt{3})^{1997}}{2}\)

e

\(y = \frac{(2 + \sqrt{3})^{1997} - (2 - \sqrt{3})^{1997}}{\sqrt{3}}\)

Calcular:

\(E = 4x^{2} - 3y^{2}\)

Caro vestibulando123, pela quantidade de postagens, você está com muita dificuldade. Par que possamos orientá-lo, poderia nos mostrar até onde você foi para resolver este problema, por exemplo?

Abração
Mauro

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Mauro Trerotola
Frase que mais gosto: "Não sabendo que era impossível, foi lá e fez!"

Oi Mauro,

Na verdade, esses exercícios são de uma seção considerada mais difícil para quem vai prestar ITA e consegui fazer metade delas. Os que postei aqui, não consegui. Comparando com um aluno de ensino médio, minha visão até que e boa e tenho bom domínio sobre produtos notáveis a fatoração, mas é que esses exercícios pegam pesado para mim.

Nesse exercício, pensei em iniciar com uma diferença de quadrados, deixando o expoente 2 para fora do parênteses, mas 1997 não é um número par. Estou com muita dificuldade.

Obrigado.

Caro vestibulando123, eu não estou seguro do desenvolvimento e nem sei se errei a aritmética da coisa.

Vamos limpar o cenário para ver o que podemos simplificar aqui.

Faremos

\(a=(2+\sqrt{3})^{1997}\)

\(b=(2-\sqrt{3})^{1997}\)

Assim, a expressão original ficaria

\(x=\frac{a+b}{2}\)

e

\(y=\frac{a-b}{\sqrt{3}}\)

Vamos aplicar isto em

\(E=4x^2-3y^2\)

\(E=4(\frac{a+b}{2})^2-3(\frac{a-b}{\sqrt{3}})^2\)

\(E=4\frac{(a+b)^2}{4}-3\frac{(a-b)^2}{3}\)

\(E=(a+b)^2-(a-b)^2\)

\(E=a^2+2ab+b^2-(a^2-2ab+b^2)\)

\(E=a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2\)

\(E=4ab\)

Também fiquei empacado aqui:

\(E=4(2+\sqrt{3})^{1997}(2-\sqrt{3})^{1997}\)

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Mauro Trerotola
Frase que mais gosto: "Não sabendo que era impossível, foi lá e fez!"

Muito interessante sua execução Mauro. Também estou procurando uma solução, mas não me parece simples.

Pessoal, vcs já fizeram o exercício, só falta o mais simples...

\(E=4(2+\sqrt{3})^{1997}(2-\sqrt{3})^{1997}=4[(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})]^{1997}=4(4-3)^{1997}=4\)

FIM! bonito o exercício

Boa noite a todos!

Segue outra forma de resolver o mesmo problema: \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)

Vejam:

\(E = 4x^2 - 3y^2\)

\(E = (2x + y\sqrt{3})(2x - y\sqrt{3})\)

\(E = \left [ 2 \cdot \frac{(2 + \sqrt{3})^{1997} + (2 - \sqrt{3})^{1997}}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{(2 + \sqrt{3})^{1997} - (2 - \sqrt{3})^{1997}}{\sqrt{3}} \right ]\left [ 2 \cdot \frac{(2 + \sqrt{3})^{1997} + (2 - \sqrt{3})^{1997}}{2} - \sqrt{3} \cdot \frac{(2 + \sqrt{3})^{1997} - (2 - \sqrt{3})^{1997}}{\sqrt{3}} \right ]\)

\(E = \left [ (2 + \sqrt{3})^{1997} + (2 - \sqrt{3})^{1997} + (2 + \sqrt{3})^{1997} - (2 - \sqrt{3})^{1997} \right ]\left [ (2 + \sqrt{3})^{1997} + (2 - \sqrt{3})^{1997} - (2 + \sqrt{3})^{1997} + (2 - \sqrt{3})^{1997} \right ]\)

\(E = \left [ (2 + \sqrt{3})^{1997} + (2 + \sqrt{3})^{1997} \right ]\left [ (2 - \sqrt{3})^{1997} + (2 - \sqrt{3})^{1997} \right ]\)

\(E = \left [ 2(2 + \sqrt{3})^{1997} \right ]\left [ 2(2 - \sqrt{3})^{1997} \right ]\)

\(E = 4 \cdot (2 + \sqrt{3})^{1997} \cdot (2 - \sqrt{3})^{1997}\)

\(E = 4 \cdot \left ( 4 - 3 \right )^{1997}\)

\(\fbox{E = 4}\)

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Daniel Ferreira
_{se gosta da resposta,
RESPONDA A QUEM PRECISA}

Muito interessante sua resolução também, danjr5!

Incrível como exercícios impossíveis ficam fáceis depois que pegamos o jeito.

Estou aprendendo muito no fórum. Obrigado.