Fórum de Matemática
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Bom dia, como todos sabem para descobrir os divisores de um número usamos este método:

Sei como efetua-lo, mas gostaria de saber porque e como ele de fato funciona.

Não querendo arriscar a inferir o método apenas pelo diagrama dado, vou dizer como e porquê se pode obter os divisores de um número a partir da sua decomposição em fatores primos (são os que aparecem na coluna do meio). O teorema fundamental da aritmética (TFA) diz-nos que qualquer número natural possui uma decomposição em fatores primos e esta é única a menos de permutação da ordem dos fatores. Se \(d\) é um divisor de \(n\) então \(n\) fatoriza-se em \(n=d\times \frac{n}{d}\) e portanto o TFA diz-nos que os fatores primos de \(d\) têm de ser fatores primos com repetições que não excedem as repetições na decomposição de \(n\). Ou seja, se a decomposição de \(n\) é \(n=p_1^{e_1}\times \cdots\times p_k^{e_k}\) então a decomposição de um qualquer disivor \(d\) é da forma \(d=p_1^{f_1}\times \cdots\times p_k^{f_k}\) onde \(0\leq f_1\leq e_1 , \dots , 0\leq f_k\leq e_k\). Por outro lado é fácil ver que qualquer número \(d\) com decomposição deste tipo é divisor de \(n\). Assim sendo, os divisores de um dado número \(n=p_1^{e_1}\times \cdots\times p_k^{e_k}\) são os números da forma \(d=p_1^{f_1}\times \cdots\times p_k^{f_k}\) com \(0\leq f_1\leq e_1 , \dots , 0\leq f_k\leq e_k\).
No exemplo em concreto, \(200=2^3\times 5^2\) e portanto os divisores são: \(1=2^0\times 5^0\), \(2=2^1\times 5^0\), \(4=2^2\times 5^0\), \(8=2^3\times 5^0\), \(5=2^0\times 5^1\), \(10=2^1\times 5^1\), \(20=2^2\times 5^1\), \(40=2^3\times 5^1\), \(25=2^0\times 5^2\), \(50=2^1\times 5^2\), \(100=2^2\times 5^2\) e \(200=2^3\times 5^2\).