analise combinatoria e digitos repetidos

[helena]

Considere todos os números com quatro algarismos, todos eles pertencentes ao conjunto
{1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Determine justificando:
Quantos destes números não têm dígitos repetidos, mas contêm o algarismo 5?
Quantos destes números contêm o algarismo 5?

[3,14159265]

Quantos destes números não têm dígitos repetidos, mas contêm o algarismo 5?

Temos um número com 4 algarismos: _ _ _ _

Vamos supor que o número 5 ocupe a primeira posição.

Então a segunda posição eu posso escolher de 8 formas, a terceira posição de 7 formas e a quarta posição de 6 formas.

Concluo que se o número for 5 _ _ _, eu tenho 8x7x6 = 336 formas diferentes de arranjá-lo.

Agora o número 5 pode ocupar a primeira casa, a segunda, a terceira ou a quarta. Ou seja, eu teria 336 x 4 = 1344 números com algarismos diferentes, sendo um deles o número 5.

Quantos destes números contêm o algarismo 5?

Quantos são os números possíveis com repetição?

O primeiro eu posso escolher de 9 formas, o segundo de 9 formas, o terceiro de 9 formas e o quarto de 9 formas. Então são 9x9x9x9 = 6561 números.

Agora se eu retirar desses 6561 números todos que não possuem o número 5, eu terei a nossa resposta. E quantos não possuem 5? O primeiro eu posso escolher de 8 formas, o segundo de 8, o terceiro de 8 e o quarto de 8. Então são: 8x8x8x8 = 4096 números. Logo: 6561-4096 = 2465 números.

Quais as respostas?

[jorgeluis]

1)

A.B.C.D (4 algarismos sem repetição)
9.8.7.6 = (9 possibilidades para A, 8 para B, 7 para C e 6 para D)

fixando o n 5 em cada posição temos (A,B,C,D=5):
X.8.7.6 = 336
8.X.7.6 = 336
8.7.X.6 = 336
8.7.6.X = 336
TOTAL => 1344

2)

A.B.C.D (4 algarismos com repetição = todas as possibilidades)
9.9.9.9 = (9 possibilidades para A, 9 para B, 9 para C e 9 para D)
6561

retirando o algarismo 5, temos menos uma possibilidade para cada posição, logo:
8.8.8.8 =
4096

a diferença me dá a resposta:
6561-4096 =
2465