Skeetch Escreveu:
Boa tarde,
Segundo percebi, a é invertível modulo n se existir b tal que ab\(\equiv\)1 módulo m <=> ab=mk+1. De seguida basta resolver o um sistema para determinar b e k e, se for possível determinar o valor de b, quer dizer que a é invertível módulo n.
Não sei se será a forma correta!
Sim, é isso mesmo. Portanto, a é invertível modulo n se, e somente se, a e n forem primos entre si, já que x e y são primos entre si se, e somente se existirem u e v, tais que ux + vu = 1. Consequentemente, se n for primo, cada a ≠ n é invertível modulo n.
Isto é tudo o que é preciso saber para resolver o problema.
A proposito, para calcular o inverso, pode-se utilizar o algoritmo de Euclides.
Sobre uma perspetiva mais abstrata, pode-se considerar o anel quociente \({\mathbb Z}_n = {\mathbb Z}/{n \mathbb Z}\). É um anel finito, então um elemento dele é invertivel se, e somente se não for um divisor de zero. (Isto é uma propriedade genérica dos anéis finitos. Um elemento a ≠ 0 de um anel comutativo é divisor de zero se existir b ≠ 0, tal que ab = 0). Verifica-se facilmente que \(\bar a \in {\mathbb Z}_n\) é divisor de zero se, e somente se a e n não são primos entre si. Então, se n for primo, \({\mathbb Z}_n\) é um corpo.
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