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| Progressão aritmética com raiz quadrada https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=71&t=11217 |
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| Autor: | Ansellmo [ 25 mai 2016, 15:31 ] |
| Título da Pergunta: | Progressão aritmética com raiz quadrada |
Anexo: 2016-05-25 11.25.58.jpg [ 31.07 KiB | Visualizado 1982 vezes ] |
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| Autor: | Sobolev [ 25 mai 2016, 16:18 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Progressão aritmética com raiz quadrada |
Se não estou a ver mal, não existe nenhum número x nas condições referidas. O limite da sucessão definida recursivamente do modo indicado deve ser ponto fixo da função \(g(x)=\sqrt{x \sqrt{x}}\) (ver teo. do ponto fixo de Banach). ora os únicos pontos fixos desta função são 0 e 1, pelo que em nenhum caso o limite poderia ser 4. Estou naturalmente a supor que os (...) na definição de x significam que o processo de extração de raizes quadradas continua indefinidamente. |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 25 mai 2016, 18:17 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Progressão aritmética com raiz quadrada |
Sobolev Escreveu: (...) O limite da sucessão definida recursivamente do modo indicado deve ser ponto fixo da função \(g(x)=\sqrt{x \sqrt{x}}\) (ver teo. do ponto fixo de Banach). (...) Sobolev, não creio que seja essa a função (experimenta calcular \(g(g(x))\) por exemplo). Acho que a função correta é \(g(t)=\sqrt{xt}\) (onde \(x>0\) é uma constante). Os pontos fixos desta função são o \(t=0\), que é instável, e o \(t=x\) que é estável (se não me enganei nas contas). Logo, temos de ter \(x=4\). Outra forma de ver, mas deixando de lado a questão da convergência e sentido da expressão \(\sqrt{x\sqrt{\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{\cdots}}}}}}\), seria a seguinte: \(\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{\cdots}}}}}}=4 \Leftrightarrow x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{\cdots}}}}}=16 \Leftrightarrow x\times 4=16\Leftrightarrow x=4\) |
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| Autor: | Sobolev [ 25 mai 2016, 22:30 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Progressão aritmética com raiz quadrada |
Obrigado Rui, realmente a função que apontei não gera a sequência correcta, o que invalida o resto do argumento. |
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