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| Calcular a soma dos divisores positivos de determinado número https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=71&t=11351 |
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| Autor: | Fernando Magalhães [ 12 jun 2016, 18:32 ] |
| Título da Pergunta: | Calcular a soma dos divisores positivos de determinado número |
Existe alguma maneira prática de resolver esta questão? Qual a soma dos divisores positivos de 7200? |
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| Autor: | jorgeluis [ 12 jun 2016, 23:21 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Calcular a soma dos divisores positivos de determinado número |
Fernando, os divisores não seguem uma sequencia linear de forma a criar uma PA ou PG, ou até mesmo uma função. Certamente, existe uma forma excentrica de se achar o resultado, espero que alguém encontre uma solução, pois, despertou minha curiosidade. Peço ajuda aos universitários: Baltuilhe, Sobolev, Carpentier, Fraol, Professor Helio, e aos demais contribuidores oficiais!!! |
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| Autor: | Estanislau [ 12 jun 2016, 23:38 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Calcular a soma dos divisores positivos de determinado número |
https://pt.wikipedia.org/wiki/Função_divisor |
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| Autor: | Fernando Magalhães [ 13 jun 2016, 15:57 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Calcular a soma dos divisores positivos de determinado número |
Caros Srs. Então a solução seria achar todos os divisores e somar? |
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| Autor: | jorgeluis [ 13 jun 2016, 17:22 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Calcular a soma dos divisores positivos de determinado número |
Fernando Magalhães, encontrar os 54 divisores seria loucura, deve haver outra forma, vamos aguardar, talvez alguém já tenha resolvida uma questão parecida !!! |
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| Autor: | Estanislau [ 13 jun 2016, 23:04 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Calcular a soma dos divisores positivos de determinado número |
Fernando Magalhães Escreveu: Caros Srs. Então a solução seria achar todos os divisores e somar? Como o Sr. Fernando acha indigno procurar "soma dos divisores" no Google, eu já lhe dei o link onde está tudo necessário, inclusive a fórmula da soma dos divisores e vários exemplos. Está a espera que eu calcule tudo? Não, eu não vou calcular. |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 14 jun 2016, 14:57 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Calcular a soma dos divisores positivos de determinado número [resolvida] |
Fernando, o link dado pelo Estanislau (https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_divisor) já tem todos os elementos que precisa para responder à questão, não necessita de determinar todos o divisores e calcular a soma. As propriedades básicas para calcular a função divisor \(\sigma (n)\) são \(\sigma (p^a)=\frac{p^{a+1}-1}{p-1}\) (se p for primo) e \(\sigma (nm)=\sigma (n)\sigma (m)\) (se m e n forem primos entre si). Logo tudo o que tem a fazer é fatorizar o número em potências de primos \(n=\prod_{i=1}^k p_i^{a_i}\) e aplicar as duas fórmulas anteriores (exercício). |
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| Autor: | professorhelio [ 15 jun 2016, 19:45 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Calcular a soma dos divisores positivos de determinado número |
Fernando Magalhães Escreveu: Existe alguma maneira prática de resolver esta questão? Qual a soma dos divisores positivos de 7200? Primeiro você fatora o número: 7200 = 2^5.3².5² Agora você usa a seguinte fórmula: [(fator elevado ao expoente dele mais 1) menos 1] dividido pelo (fator menos 1) Repita isso para todos os fatores e depois multiplica os resultados. Assim, fica: {[2^(5 + 1) - 1]/(2 - 1)}.{[3^(2 + 1) - 1]/(3 - 1)}.{[5^(2 + 1) - 1]/(5 - 1)} = 25389 |
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| Autor: | jorgeluis [ 15 jun 2016, 20:27 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Calcular a soma dos divisores positivos de determinado número |
Muito bom pessoal, Valeu Professor Helio, Carpentier, Estanislau!!! \(7200=2^5.3^2.5^2\) \(\frac{2^{(5+1)} - 1}{(2-1)} \times \frac{3^{(2+1)} - 1}{(3-1)} \times \frac{5^{(2+1)} - 1}{(5-1)}=25389\) |
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