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| Determinar qual das opções dadas é múltiplo de determinado número https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=71&t=11432 |
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| Autor: | Fernando Magalhães [ 25 jun 2016, 13:26 ] |
| Título da Pergunta: | Determinar qual das opções dadas é múltiplo de determinado número |
Qual dos números abaixo é um múltiplo de 34? a) \(3^{54} + 5^{54}\) b) \(3^{54} +4^{54}\) c) \(2^{54} + 5^{54}\) d) \(27^{54} + 7^{54}\) e) \(27^{27} + 9^{27}\) |
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| Autor: | danjr5 [ 25 jun 2016, 15:03 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Determinar qual das opções dadas é múltiplo de determinado número [resolvida] |
Fernando Magalhães Escreveu: Qual dos números abaixo é um múltiplo de 34? a) \(3^{54} + 5^{54}\) b) \(3^{54} +4^{54}\) c) \(2^{54} + 5^{54}\) d) \(27^{54} + 7^{54}\) e) \(27^{27} + 9^{27}\) Olá Fernando! Em se tratando de uma soma de potências em que o expoente é ímpar, temos o desenvolvimento abaixo, veja: \(a^n + b^n = (a + b) \left ( a^{n - 1} - a^{n - 2} \cdot b^1 + a^{n - 3} \cdot b^2 - ... + a^2 \cdot b^{n - 3} - a^1 \cdot b^{n - 2} + b^{n - 1} \right )\) Avaliemos as opções: Item a) \(\\ 3^{54} + 5^{54} = \\\\ (3)^{2 \cdot 27} + (5)^{2 \cdot 27} = \\\\ (3^2)^{27} + (5^2)^{27} = \\\\ (9)^{27} + (25)^{27}\) Aplicando a fórmula, temos que: \((9)^{27} + (25)^{27} = \\\\ (9 + 25)(9^{27 - 1} - 9^{27 - 2} \cdot 25^1 + 9^{27 - 3} \cdot 25^2 - ... + 9^2 \cdot 25^{27 - 3} - 9^1 \cdot 25^{27 - 2} + 25^{27 - 1}) = \\\\ 34 \cdot (9^{26} - 9^{25} \cdot 25 + 9^{24} \cdot 25^2 - ... + 9^2 \cdot 25^{24} - 9 \cdot 25^{25} + 25^{26})\) Portanto, \(34 | (3^{54} + 5^{54})\). |
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| Autor: | jorgeluis [ 25 jun 2016, 19:49 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Determinar qual das opções dadas é múltiplo de determinado número |
Fernando, um meio alternativo é pegar o menor divisor do expoente. veja: expoente 54: a) menor divisor = 2 \(3^2 + 5^2 = 34 (V)\) b) menor divisor = 3 (não pode ser 2 porque o resultado seria 25, que é menor que 34) \(3^3 + 4^3 = 91 (F)\) c) menor divisor = 3 (não pode ser 2 porque o resultado seria 29, que é menor que 34) \(2^3 + 5^3 = 133 (F)\) d) menor divisor = 2 \(27^2 + 7^2 = 778 (F)\) expoente 27: d) menor divisor = 3 \(27^3 + 9^3 = 20412 (F)\) |
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