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DÚVIDAS? Nós respondemos!

Sabendo que \(a + b = 589\) e \(\frac{\text{mmc}(a, b)}{\text{mdc}(a, b)} = 84\). Determine \(a\) e \(b\).

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Daniel Ferreira
_{se gosta da resposta,
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Boa Tarde !Começamos por introduzir notações :

\(G:= MDC (a,b)\)
\(L := MMC (a,b)\)

Como (devido a um teorema ) \(a \cdot b = G \cdot L\) . De uma das equações fornecidas , obtemos \(L = 84 G\) donde

\(a\cdot b = G \cdot L = 84 G^2\) . Portanto , \(a\) e \(b\) correspondem as soluções inteiras da equação :

\(x^2 - 589 x + 84G^2 = 0 ( = (x-a)(x-b)) (*)\) cuja soluções podem ser obtidas explicitamente por \(\frac{589 \pm \sqrt{589^2 - 4 \cdot 84 \cdot G^2}}{2}\)

Esta equação nos motiva a determinar primeiro G ... Para tal , nota que \(G = 31 , 19\) ou \(1\) (Fica como exercício esta verificação ) sendo a última possibilidade descartada (Pois \(a\) e \(b\) coprimos \(\Rightarrow [tex] L = 84 \geq \max \{a,b\} > 294\) que é um absurdo ! )

Alternativamente , pode-se notar que os numeros \(z := a/G\) e \(w:= b/G\) são inteiros positivos coprimos (Verifique !) satisfazendo
\(z\cdot w = 84\) Claro \(a,b\) não simultaneamente impa/par [/tex] . SPG podemos assumir que \(a\) é par . Óbvio que \(G\) é impar e assim \(z+w = 589/G\) é ímpar o que implica (pelo msm argumento ) z par , w ímpar .

Basta então analisar todos pares de divisores de 84 cujo produto vale 84 ..

Caso 1:

\(z = 2^2\) e \(w= 3 \cdot 7\)

Caso 2:

\(z = 2^2 \cdot 3\) \(w = 7\)

Caso 3 :

\(z = 2^2 \cdot 7\) e \(b =3\)

Caso 4 :

\(z = 2^2 \cdot 3 \cdot 7\) e \(w= 1\)


Dos 4 casos acima apenas dois dará as possíveis soluções para o problema . (Exercício ! Dica : Use o resultado acima que diz que \(G = 19\) ou \(31\) .. Logo a soma \(z + w = 19\) ou \(31\) )

[Editado]