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| (MMC e MDC) Determine "a" e "b" sabendo que: https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=71&t=11439 |
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| Autor: | danjr5 [ 26 jun 2016, 17:01 ] |
| Título da Pergunta: | (MMC e MDC) Determine "a" e "b" sabendo que: |
Sabendo que \(a + b = 589\) e \(\frac{\text{mmc}(a, b)}{\text{mdc}(a, b)} = 84\). Determine \(a\) e \(b\). |
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| Autor: | santhiago [ 26 jun 2016, 18:59 ] |
| Título da Pergunta: | Re: (MMC e MDC) Determine "a" e "b" sabendo que: |
Boa Tarde !Começamos por introduzir notações : \(G:= MDC (a,b)\) \(L := MMC (a,b)\) Como (devido a um teorema ) \(a \cdot b = G \cdot L\) . De uma das equações fornecidas , obtemos \(L = 84 G\) donde \(a\cdot b = G \cdot L = 84 G^2\) . Portanto , \(a\) e \(b\) correspondem as soluções inteiras da equação : \(x^2 - 589 x + 84G^2 = 0 ( = (x-a)(x-b)) (*)\) cuja soluções podem ser obtidas explicitamente por \(\frac{589 \pm \sqrt{589^2 - 4 \cdot 84 \cdot G^2}}{2}\) Esta equação nos motiva a determinar primeiro G ... Para tal , nota que \(G = 31 , 19\) ou \(1\) (Fica como exercício esta verificação ) sendo a última possibilidade descartada (Pois \(a\) e \(b\) coprimos \(\Rightarrow [tex] L = 84 \geq \max \{a,b\} > 294\) que é um absurdo ! ) Alternativamente , pode-se notar que os numeros \(z := a/G\) e \(w:= b/G\) são inteiros positivos coprimos (Verifique !) satisfazendo \(z\cdot w = 84\) Claro \(a,b\) não simultaneamente impa/par [/tex] . SPG podemos assumir que \(a\) é par . Óbvio que \(G\) é impar e assim \(z+w = 589/G\) é ímpar o que implica (pelo msm argumento ) z par , w ímpar . Basta então analisar todos pares de divisores de 84 cujo produto vale 84 .. Caso 1: \(z = 2^2\) e \(w= 3 \cdot 7\) Caso 2: \(z = 2^2 \cdot 3\) \(w = 7\) Caso 3 : \(z = 2^2 \cdot 7\) e \(b =3\) Caso 4 : \(z = 2^2 \cdot 3 \cdot 7\) e \(w= 1\) Dos 4 casos acima apenas dois dará as possíveis soluções para o problema . (Exercício ! Dica : Use o resultado acima que diz que \(G = 19\) ou \(31\) .. Logo a soma \(z + w = 19\) ou \(31\) ) [Editado] |
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