Indução e a progressao aritmética
26 jun 2016, 15:16
Bom dia Galera
Estou com problema para solucionar essa questão de induçao:
Podem me ajudar?
Grata desde já
Estou com problema para solucionar essa questão de induçao:
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Podem me ajudar?
Grata desde já
Re: Indução e a progressao aritmética
29 jun 2016, 23:17
Oi,
Para \(n = 1\) é trivial. Assumindo como hipótese de indução \(S_n = \frac{(a_1+a_n)n}{2}\), queremos provar que \(S_{n+1} = \frac{(a_1+a_{n+1})(n+1)}{2}\).
Usando a hipótese, podemos afirmar que \(S_{n+1} = S_{n} + a_{n+1}\).
Continuando: \(S_{n+1} = \frac{(a_1+a_n)n}{2} + a_{n+1}\).
Usando o fato que \(a_{n} = a_1 + (n-1)R\) e \(a_{n+1} = a_1 + nR\), onde \(R\) é a razão P.A., teremos:
\(S_{n+1} = \frac{(a_1+a_1 + (n-1)R)n}{2} + a_1 + nR\).
\(S_{n+1} = \frac{(2a_1 + nR -R)n +2a_1 + 2nR}{2}\), que é o resultado desejado.
\(S_{n+1} = \frac{n2a_1 + nnR -nR +2a_1 + 2nR}{2}\).
\(S_{n+1} = \frac{(2a_1 + Rn)(n+1)}{2}\).
\(S_{n+1} = \frac{(2a_1 + Rn)(n+1)}{2}\).
\(S_{n+1} = \frac{(a_1 + (a_1 + Rn))(n+1)}{2}\).
\(S_{n+1} = \frac{(a_1 + a_{n+1})(n+1)}{2}\).
Para \(n = 1\) é trivial. Assumindo como hipótese de indução \(S_n = \frac{(a_1+a_n)n}{2}\), queremos provar que \(S_{n+1} = \frac{(a_1+a_{n+1})(n+1)}{2}\).
Usando a hipótese, podemos afirmar que \(S_{n+1} = S_{n} + a_{n+1}\).
Continuando: \(S_{n+1} = \frac{(a_1+a_n)n}{2} + a_{n+1}\).
Usando o fato que \(a_{n} = a_1 + (n-1)R\) e \(a_{n+1} = a_1 + nR\), onde \(R\) é a razão P.A., teremos:
\(S_{n+1} = \frac{(a_1+a_1 + (n-1)R)n}{2} + a_1 + nR\).
\(S_{n+1} = \frac{(2a_1 + nR -R)n +2a_1 + 2nR}{2}\), que é o resultado desejado.
\(S_{n+1} = \frac{n2a_1 + nnR -nR +2a_1 + 2nR}{2}\).
\(S_{n+1} = \frac{(2a_1 + Rn)(n+1)}{2}\).
\(S_{n+1} = \frac{(2a_1 + Rn)(n+1)}{2}\).
\(S_{n+1} = \frac{(a_1 + (a_1 + Rn))(n+1)}{2}\).
\(S_{n+1} = \frac{(a_1 + a_{n+1})(n+1)}{2}\).