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| Quantas vezes aparece o zero? https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=71&t=1177 |
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| Autor: | Argolo [ 06 dez 2012, 16:28 ] |
| Título da Pergunta: | Quantas vezes aparece o zero? |
Quantas vezes empregamos o dígito 0 (zero), quando escrevemos os números naturais de 1 a 10^n? (n é número natural diferente de zero) Obs.: Desconsiderar números iniciados com 0 (014, 000351, por exemplo). |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 07 dez 2012, 17:13 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Quantas vezes aparece o zero? |
Agora estou com pouco tempo para explicar a fórmula. Veja se isto o ajuda: nº de vezes que o dígito 0 é empregue na lista dos números de \(1\) a \(10^n\) (inclusive) é \(n+\sum_{k=1}^{n-1}\left(\sum_{i=0}^{k-1}i\times 9^{k-i}\right)\) É possível obter uma expressão fechada para o somatório mas agora não tenho tempo. |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 08 dez 2012, 18:32 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Quantas vezes aparece o zero? |
Corrigindo a fórmula apresentada (falta o coeficiente binomial no segundo somatório e primeiro somatório vai até n e não n-1): \(n+\sum_{k=1}^{n}\left(\sum_{i=0}^{k-1}i{k-1 \choose i}9^{k-i}\right)\) Explicando agora cada termo: \(n\) é nº de zeros usados para escrever \(10^n\); \({k-1 \choose i}9^{k-i}\) é nº de números com k algarísmos dos quais i são 0 (tomando em conta que o 1º algarísmo é diferente de 0). Assim, \(i{k-1 \choose i}9^{k-1}\) é o nº de zeros usados para escrever todos os números com k algarísmos dos quais i são 0. Logo \(\sum_{i=0}^{k-1}i{k-1 \choose i}9^{k-i}\) é o nº de zeros usados para escrever todos os números com k algarísmos. E portanto \(\sum_{k=1}^{n}\left(\sum_{i=0}^{k-1}i{k-1 \choose i}9^{k-i}\right)\) é o nº de zeros usados para escrever todos os números com menos de n algarísmos (ou seja todos os números de 1 a \(10^n-1\)). |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 08 dez 2012, 19:17 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Quantas vezes aparece o zero? |
Só mais uma adenda, Também é possível arranjar uma fórmula recurssiva. Seja \(G_n\) o nº de zeros usado para escrever todos o nºs de \(1\) a \(10^n-1\). Temos que \(G_1=0\) e que \(G_{n+1}=10G_n+10^{n}-1\). Para ver tal observemos primeiro que \(G_{n+1}=\sum_{k=1}^{10^{n+1}-1}\zeta(k)\) onde \(\zeta(k)\) é o número de zeros para escrever \(k\). Se \(k\) for maior que 9 então \(k=10x+y\) onde \(x\) é um nº de \(1\) a \(10^n-1\) e \(y\) é um algarísmo 0,1,2,...,9. Portanto, \(G_{n+1}=\sum_{k=1}^{10^{n+1}-1}\zeta(k)=\sum_{k=10}^{10^{n+1}-1}\zeta(k)=\sum_{x=1}^{10^{n}-1}\left(\sum_{y=0}^{9}\zeta(10x+y)\right)=\sum_{x=1}^{10^{n}-1}\left(\sum_{y=0}^{9}(\zeta(x)+\zeta(y))\right)=\sum_{x=1}^{10^{n}-1}\left(10\zeta(x)+1\right)=10\left(\sum_{x=1}^{10^{n}-1}\zeta(x)\right)+10^{n}-1=10G_n+10^{n}-1\) Daqui pode-se verificar, por indução, que \(G_n=(n-1)10^{n-1}+\frac{1-10^{n-1}}{9}\). Logo o nº de zeros usado para escrever todos o nºs de \(1\) a \(10^n\) será \(n+G_n=n+(n-1)10^{n-1}+\frac{1-10^{n-1}}{9}\). |
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