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Utilize o Princípio de Indução Matemática para demonstrar que as igualdades abaixo são verdadeiras: https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=71&t=12006	Página 1 de 1

Autor:	Chuck Norris [ 11 nov 2016, 18:11 ]
Título da Pergunta:	Utilize o Princípio de Indução Matemática para demonstrar que as igualdades abaixo são verdadeiras:
a) 3 + 9 + 15 +21 + ... + (6n – 3) = 3n^2, ∀n > 1.

Autor:	Rafael Castro [ 11 nov 2016, 19:04 ]
Título da Pergunta:	Re: Utilize o Princípio de Indução Matemática para demonstrar que as igualdades abaixo são verdadeiras: [resolvida]
Utilizando indução matemática(fraca): primeiro prove para o caso base: no caso como é para todo n maior que 1 (∀n > 1), logo pegaremos o primeiro elemento que vem depois de 1, no caso o 2. verifique se ele é válido.... no caso com n=2, temos que provar que a soma dos dois primeiros elementos da sequência (3 + 9 + 15 +21 + ... + (6n – 3)) é igual a 3n², se os dois primeiros elementos são 3 e 9, então a soma tem que dar doze(3+9), se observarmos doze é o mesmo resultado que 32²=34=12, logo o caso base passa.(verifique se no seu exercício é realmente ∀n > 1 e não ∀n >= 1 pois com n igual a 1 ele também passa, enfim isso não importa muito só observação mesmo!). beleza então já temos nosso caso base provado agora sim vem a parte da indução, que no caso você vai supor que para um n = k (sendo k um número qualquer) e vai provar que ele também vale para n = k+1. então primeiro: 3+9+15+21+...+(6k-3) = 3k² (isso você supõe, essa é a parte da indução que muitos não conseguem entender, mas para você provar por indução sempre tem que supor que pra um elemento a propriedade é válida e provar para seu elemento imediatamente sucessor!) obs: supor = considerar ser válido! beleza então agora vamos tentar provar que para k+1 essa propriedade é válida! temos então: 3+9+15+21+...+(6(k+1)-3) essa é a soma para k+1. nós queremos mostrar que isso é igual a (3(k+1)²). agora que está a sacada abra um pouco mais essa soma para a esquerda das reticências. 3+9+15+21+...+(6k-3)+(6(k+1)-3) mas olha só encontramos que parte da soma para k+1, é a mesma para k, e nós sabemos que essa soma que está em azul na verdade é igual a 3k², então vamos substituir na mesma por esse valor. 3k²+(6(k+1)-3) agora essa parte é desenvolvimento da equação para que ela fique igual a (3(k+1)²), na verdade elas já são equivalentes, mas para provarmos de fato devemos torná-las iguais na fórmula. 3k²+(6(k+1)-3) (expandir 3k²+6k+6-3 3k²+6k+3(coloque o 3 em evidência) 3(k²+2k+1)(quadrado de k+1, verifique se tiver dúvidas, (k+1)²=(k²+2k+1)) 3(k+1)² pronto provado! qualquer dúvida só perguntar!

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