Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Um Fórum em Português dedicado à Matemática
Data/Hora: 28 mar 2024, 15:26

Os Horários são TMG [ DST ]




Fazer Nova Pergunta Responder a este Tópico  [ 5 mensagens ] 
Autor Mensagem
MensagemEnviado: 11 dez 2016, 20:15 
Offline

Registado: 11 dez 2016, 19:50
Mensagens: 113
Localização: Faro Algarve
Agradeceu: 3 vezes
Foi agradecido: 7 vezes
Boa noite,

gostaria de saber se existe algum procedimento "à mão" (complexo ou não) de se efetuar a radiciação superior a 3 de um número ( não inteiro e não imaginário ), por exemplo raiz quadrática, quíntupla, ... e por aí a fora?

Obrigado!


Topo
 Perfil  
 
MensagemEnviado: 12 dez 2016, 12:52 
Offline

Registado: 17 jan 2013, 13:36
Mensagens: 2487
Localização: Lisboa
Agradeceu: 31 vezes
Foi agradecido: 1049 vezes
Pode usar o método de Newton para produzir uma sucessão convergente para o valor da raíz. A ideia é que \(\sqrt[n]{a}\) é solução da equação \(x^n - a =0\). A sucessão dada pelo método de Newton é então

\(x_{k+1} = x_k - \dfrac{x_k^n-a}{n x_k^{n-1}}= \dfrac{(n-1)x_k^n+a}{n x_k^{n-1}}\)

Tem apenas que escolher uma aproximação inicial \(x_0\) para a qual o método de newton seja garantidamente convergente. Se usar este processo para calcular a raiz quinta de 3, partindo de \(x_0=1\) obtém o seguinte:

\(\begin{tabular}{|c|c|}\hline
x_i & Erro\\ \hline
1 & 0.24573... \\ \hline
1.4 & 0.154269 \\ \hline
1.27618 & 0.030454 \\ \hline
1.24715 & 0.00141919 \\ \hline
1.24573 & 3.22626 \times 10^{-6} \\ \hline
1.2457309396 & 1.67111 \times 10^{-11} \\ \hline
\end{tabular}\)

Sem fazer arredondamentos a ultima aproximação, que já tem dez dígitos correctos, seria

\(\sqrt[5]{3} \approx \dfrac{88400082329102703185500231533277921181492288661305471749605692529424262399099594736757835073797278358234048067222150997474601010899765607571300335437345874456398353429262981617785503995643324366419971094124943580162259211107015657591673039262847737245412178182724490884337507221388824450087424425568610953242644025870650758925512365960111620801555241275016197525148252670628200517671248110342000243831282668177065588656154062016343609073297064011472587178992746127478606874619431552249531584614330067846587204565234643148281165862688933885871452525569675993833014852575171746088474228774308428834963316183828641875802762250303420847}{70962420147644940323586888201104261272617134707477266260100109744914422196524225156247612079014195844703340845025058659788547358294732257766444216432532898674460602274766017688802568663180611965888261662165607365698720059623684430114372435249287606450580525140862325933688388767797467336456254997321136327951822022950089838569369197234849331223283755433265321551147127534712403542072016757496436901174742652791904847552544963339920829459857658460401746369089467881112576156147193940685664873629672694244031237822983470890362383297208592509001544232164837263702317803460052532466198665787587319326454675910905124156991298918872003125}\)


É este tipo de algoritmo que está por exemplo implementado numa calculadora.


Topo
 Perfil  
 
MensagemEnviado: 13 dez 2016, 21:52 
Offline

Registado: 11 dez 2016, 19:50
Mensagens: 113
Localização: Faro Algarve
Agradeceu: 3 vezes
Foi agradecido: 7 vezes
Obrigado, vou efetuar alguns cálculos para ter "mão"...pelo menos até à 2 ou terceira casa decimal.


Topo
 Perfil  
 
MensagemEnviado: 30 dez 2016, 18:05 
Offline

Registado: 11 dez 2016, 19:50
Mensagens: 113
Localização: Faro Algarve
Agradeceu: 3 vezes
Foi agradecido: 7 vezes
Tenho tentado efetuar alguns cálculos "à mão", com base numa estrutura de radiciação semelhante à radiciação quadrada, abrangendo-a para a cúbica, quaternária e quíntupla, enfim tentando generalizar os cálculos, mas não consigo ir além do quarto, quinto dígitos após a virgula. O método falha na proporção : quanto mais dígitos menor precisão.

Pergunto : a radiciação quadrada "à mão" tem ou não falhas quando se trata de encontrar dígitos além do horizonte, isto é, até nos cansarmos ?

Obrigado!


Topo
 Perfil  
 
MensagemEnviado: 06 dez 2017, 22:14 
Offline

Registado: 11 dez 2016, 19:50
Mensagens: 113
Localização: Faro Algarve
Agradeceu: 3 vezes
Foi agradecido: 7 vezes
Afinal é possível calcular a radiciação de indece n "à mão", isto é, sem nos socorrermos da formula de aproximações, tudo feito à mão. Consigo efetuar esses cálculos desde a raiz quadrada, cubica, de indice 4, 5, 6 e 7 ... pois é até onde consigo utilizar os 15 algarismos que o produto de dois números geram na calculadora. Excluindo o uso da calculadora para se efetuar diretamente o calculo, usando-a apenas para se fazer o produto, divisão, soma e diferença, é possível calcular a raiz de índice n (melhor fiabilidade nos cálculos que teria que fazer à mão, apos perceber os procedimentos, com tempo e sem calculadora, faço-os à mão ).


Topo
 Perfil  
 
Mostrar mensagens anteriores:  Ordenar por  
Fazer Nova Pergunta Responder a este Tópico  [ 5 mensagens ] 

Os Horários são TMG [ DST ]


Quem está ligado:

Utilizadores a ver este Fórum: Nenhum utilizador registado e 36 visitantes


Criar perguntas: Proibído
Responder a perguntas: Proibído
Editar Mensagens: Proibído
Apagar Mensagens: Proibído
Enviar anexos: Proibído

Pesquisar por:
Ir para: