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como efetuar o método da fração contínua (aproximação p extração de raiz quadrada)
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Autor:  Mainmoli [ 09 nov 2017, 17:41 ]
Título da Pergunta:  como efetuar o método da fração contínua (aproximação p extração de raiz quadrada)

Eu não entendi muito uma parte no livro, estou confusa.
Como e por que surgiu o intervalo 1<x<2 ?

Anexos:
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Autor:  Rui Carpentier [ 09 nov 2017, 23:21 ]
Título da Pergunta:  Re: como efetuar o método da fração contínua (aproximação p extração de raiz quadrada)

Como \(16<24<25\) temos que \(4<\sqrt{24}<5\) e portanto \(1=\frac{4+4}{8}<\frac{\sqrt{24}+4}{8}<\frac{5+4}{8}<2\).

Note-se que esse é processo inicial para determinar a fração contínua de um número. Se n<x<n+1 então \(x=n+\frac{1}{y}\) com y>1, se \(n_1<y<n_1+1\) então \(x=n+\frac{1}{n_1+\frac{1}{z}}\) com z>1, se \(n_2<z<n_2+1\) então \(x=n+\frac{1}{n_1+\frac{1}{n_2+\frac{1}{w}}}\) com w>1, etc.

No exemplo em estudo podemos usar uma relação de recurrência para determinar a fração contínua de x: \(x=\frac{\sqrt{24}+4}{8}=1+\frac{\sqrt{24}-4}{8}=1+\frac{1}{8x}\). Logo, \(x=1+\frac{1}{8x}=1+\frac{1}{8\left(1+\frac{1}{8x}\right)}=1+\frac{1}{8+\frac{1}{x}}=1+\frac{1}{8+\frac{1}{1+\frac{1}{8+\frac{1}{x}}}}=\dots\). Ou seja, x=[1;8,1,8,1,8,1,8,1,8,1,8,1,...].

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