Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

O produto de todos os divisores de um número natural (maior que \(1\)) é igual ao quinta potência deste
número. Quantos divisores o número em questão tem?

Lasilva,

se o produto dos divisores de n é:
\(P=n^5
e,
P=(\sqrt{n})^{k}\)
sendo,
k=nº de divisores de n

entao,
\(n^5=n^{\frac{k}{2}}
\frac{k}{2}=5
K=10\)

_________________
Vivemos em um mundo onde toda informação é falsa até que se prove o contrário.
A Verdade está a caminho.

Obrigada jorgeluis,
Mas por quê o produto dos divisores é igual a
\((\sqrt{n})^{k}\)?

Lasilva,
vou fazer uma demonstração pra você entender:
nº de divisores de 4:
\(k=3\)

são eles:
\(1,2,4\)

o produto deles é:
\(P=1\times 2 \times 4
P=8\)

ou seja,
\(P=(\sqrt{n})^{k}
P=(\sqrt{4})^{3}
P=2^3
P=8\)

_________________
Vivemos em um mundo onde toda informação é falsa até que se prove o contrário.
A Verdade está a caminho.

Jorge, isso não é uma demonstração, é só um exemplo. A demonstração de o produto dos divisores de n é \(\sqrt{n}^k\), onde k é o nº de divisores de n, é análoga à demonstração de que a soma dos primeiros n números é \(\frac{n(n+1)}{2}\). Se notarmos que, para qualquer divisor d de n, n/d também é divisor então o produto dos divisores ao quadrado é: \(P^2=\left(\prod_{d\in D}d\right)^2=\left(\prod_{d\in D}d\right)\times\left(\prod_{d\in D}\frac{n}{d}\right)=\prod_{d\in D}\left(d\times \frac{n}{d}\right)=\prod_{d\in D}n =n^{|D|}=n^k\) (aqui D é o conjunto dos divisores de n). Portanto, \(P=\sqrt{n}^k\).

ok, Rui,
obrigado pela correção e ajuda!

_________________
Vivemos em um mundo onde toda informação é falsa até que se prove o contrário.
A Verdade está a caminho.

Obrigada Rui Carpentier, solução muito clara e obrigada também a você jorgeluis!