Obrigada jorgeluis,
Mas por quê o produto dos divisores é igual a
\((\sqrt{n})^{k}\)?
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| Divisores e potência quinta de um número https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=71&t=13526 |
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| Autor: | Lasilva [ 18 dez 2017, 22:52 ] |
| Título da Pergunta: | Divisores e potência quinta de um número |
O produto de todos os divisores de um número natural (maior que \(1\)) é igual ao quinta potência deste número. Quantos divisores o número em questão tem? |
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| Autor: | jorgeluis [ 19 dez 2017, 13:02 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Divisores e potência quinta de um número |
Lasilva, se o produto dos divisores de n é: \(P=n^5 e, P=(\sqrt{n})^{k}\) sendo, k=nº de divisores de n entao, \(n^5=n^{\frac{k}{2}} \frac{k}{2}=5 K=10\) |
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| Autor: | Lasilva [ 19 dez 2017, 13:16 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Divisores e potência quinta de um número |
Obrigada jorgeluis, Mas por quê o produto dos divisores é igual a \((\sqrt{n})^{k}\)? |
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| Autor: | jorgeluis [ 19 dez 2017, 13:49 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Divisores e potência quinta de um número |
Lasilva, vou fazer uma demonstração pra você entender: nº de divisores de 4: \(k=3\) são eles: \(1,2,4\) o produto deles é: \(P=1\times 2 \times 4 P=8\) ou seja, \(P=(\sqrt{n})^{k} P=(\sqrt{4})^{3} P=2^3 P=8\) |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 19 dez 2017, 18:20 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Divisores e potência quinta de um número |
jorgeluis Escreveu: Lasilva, vou fazer uma demonstração pra você entender: nº de divisores de 4: \(k=3\) são eles: \(1,2,4\) o produto deles é: \(P=1\times 2 \times 4 P=8\) ou seja, \(P=(\sqrt{n})^{k} P=(\sqrt{4})^{3} P=2^3 P=8\) Jorge, isso não é uma demonstração, é só um exemplo. A demonstração de o produto dos divisores de n é \(\sqrt{n}^k\), onde k é o nº de divisores de n, é análoga à demonstração de que a soma dos primeiros n números é \(\frac{n(n+1)}{2}\). Se notarmos que, para qualquer divisor d de n, n/d também é divisor então o produto dos divisores ao quadrado é: \(P^2=\left(\prod_{d\in D}d\right)^2=\left(\prod_{d\in D}d\right)\times\left(\prod_{d\in D}\frac{n}{d}\right)=\prod_{d\in D}\left(d\times \frac{n}{d}\right)=\prod_{d\in D}n =n^{|D|}=n^k\) (aqui D é o conjunto dos divisores de n). Portanto, \(P=\sqrt{n}^k\). |
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| Autor: | jorgeluis [ 20 dez 2017, 03:15 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Divisores e potência quinta de um número |
ok, Rui, obrigado pela correção e ajuda! |
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| Autor: | Lasilva [ 20 dez 2017, 15:38 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Divisores e potência quinta de um número |
Obrigada Rui Carpentier, solução muito clara e obrigada também a você jorgeluis!
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