Divisibilidade e sequência de inteiros positivos

[Lasilva]

Seja \(n\) um inteiro positivo e sejam \(a_{1}, . . . , a_{k}\) (\(k\geq 2\)) inteiros distintos do conjunto
\(\{1,\cdots,n\}\) tais que \(n\) divide \(a_{i}(a_{i+1}-1)\), para \(i=1,\cdots,k-1\). Demonstre que \(n\) não divide \(a_{k}(a_{1}-1)\).

[Rui Carpentier]

Vou fazer, a título de exemplo o caso \(k=4\). O caso geral é o mesmo princípio e espero que consiga chegar lá. Também vou supor que esteja familiarizado com a linguagem de congruências. Assim, dizer que \(n\) divide \(a_i(a_{i+1}-1)\) é o mesmo que dizer que \(a_ia_{i+1}-a_i\equiv 0 mod(n)\) ou equivalentemente \(a_i\equiv a_ia_{i+1} mod(n)\). Tomando em conta esta última igualdade aqui vai o caso k=4:
\(a_4(a_1-1)=a_1a_4-a_4\equiv a_1a_2a_4-a_4\equiv a_1a_2a_3a_4-a_4\equiv a_1a_2a_3-a_4\equiv a_1a_2-a_4\equiv a_1-a_4\not\equiv 0 mod(n)\) pois \(a_1\) e \(a_4\) são elementos distintos de \(\{1,2,\dots ,n\}\) (logo \(0<|a_1-a_4|<n\)).

[Lasilva]

Obrigada Rui Carpentier.