Inteiros positivos m e n

[Lasilva]

(i) Determinar todos os pares de inteiros positivos \((m,n)\) tais que \(n^2-2^m=1.\)
(ii) Determinar todos os pares de inteiros positivos \((m,n)\) tais que
\(2^m-n^2=1.\)

[PierreQuadrado]

Deixo a resposta...
i. n=3, m=3
ii. n=1, m=1

[Rui Carpentier]

Para chegar às soluções do PierreQuadrado pode proceder do seguinte modo:
i) n^{2}-2^{m}=1 \Leftrightarrow (n-1)(n+1)=2^{m} \Leftrightarrow n=2^{k}+1=2^{m-k}-1\Rightarrow 2^{m-k-1}=2^{k-1}+1\Rightarrow k-1=0 e \(m-k-1=1\Rightarrow k=1, m=3, n=3\).
ii) \(2^m-n^2=1 \Leftrightarrow 2^m-1=n^2\) o que implica (com m>0) que n é ímpar (\(n=2k+1\)) e isso implica que \(2^m=4k^2+4k+2\), ou seja, \(2^m\) não é múltiplo de 4. Logo \(m=1\) e \(n=1\).