05 mai 2018, 12:38
Desafio facil para se aquecerem!
Escreva a expressão x^6 + x^4 + x²y² + y^4 - y^6 como produto de três fatores.
07 mai 2018, 15:55
É sabido que \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\), logo \(x^6-y^6=(x^2-y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4)\) e portanto:
\(x^6 + x^4 + x^2y^2 + y^4 - y^6=x^6 - y^6+x^4 + x^2y^2 + y^4=(x^2-y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4)+x^4 + x^2y^2 + y^4=(x^2-y^2+1)(x^4 + x^2y^2 + y^4)\).
Também é sabido que \(e^{\frac{k\pi i}{3}}=\cos(\frac{k\pi}{3})+i\mbox{sen}(\frac{k\pi}{3})\) (com k=0,1,2,3,4,5) são as raízes complexas de índice 6 da unidade, logo \(x^6-y^6=(x-e^{\frac{0\pi i}{3}}y)(x-e^{\frac{\pi i}{3}}y)(x-e^{\frac{2\pi i}{3}}y)(x-e^{\frac{3\pi i}{3}}y)(x-e^{\frac{4\pi i}{3}}y)(x-e^{\frac{5\pi i}{3}}y)=(x-y)(x-e^{\frac{\pi i}{3}}y)(x-e^{\frac{2\pi i}{3}}y)(x+y)(x-e^{\frac{4\pi i}{3}}y)(x-e^{\frac{5\pi i}{3}}y)=(x^2-y^2)(x-e^{\frac{\pi i}{3}}y)(x-e^{\frac{2\pi i}{3}}y)(x-e^{\frac{4\pi i}{3}}y)(x-e^{\frac{5\pi i}{3}}y)\). Portanto, \(x^4 + x^2y^2 + y^4=(x-e^{\frac{\pi i}{3}}y)(x-e^{\frac{2\pi i}{3}}y)(x-e^{\frac{4\pi i}{3}}y)(x-e^{\frac{5\pi i}{3}}y)\), ou seja, o produto das 4 raízes não reais da unidade. Estas raízes são conjugadas duas a duas: \(e^{\frac{5\pi i}{3}}=\overline{e^{\frac{\pi i}{3}}}\) e \(e^{\frac{4\pi i}{3}}=\overline{e^{\frac{2\pi i}{3}}}\). Assim sendo, \(x^4 + x^2y^2 + y^4=(x-e^{\frac{\pi i}{3}}y)(x-\overline{e^{\frac{\pi i}{3}}}y)(x-e^{\frac{2\pi i}{3}}y)(x-\overline{e^{\frac{2\pi i}{3}}}y)=(x^2-2Re(e^{\frac{\pi i}{3}})xy+y^2)(x^2-2Re(e^{\frac{2\pi i}{3}})xy+y^2)=(x^2-xy+y^2)(x^2+xy+y^2)\).
Conclusão, \(x^6 + x^4 + x^2y^2 + y^4 - y^6=(x^2-y^2+1)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)\).
PS: \(e^{\frac{k\pi i}{3}}=\cos(\frac{k\pi}{3})+i\mbox{sen}(\frac{k\pi}{3})\) também é conhecido (especialmente no ensino pré-universitário) por \(\mbox{cis}(\frac{k\pi}{3})\).