Fórum de Matemática
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G.C.D of (m,n)=1

x ≡3 (mod n)
x ≡2 (mod m)

Find x.

Hi

I don't know the general expression of \(x\) but for exemple the number 13 works

13 ≡3 (mod 10)
13 ≡2 (mod 11)

G.C.D of (10,11)=1

But i don't know if it is for every m,n

Many other natural numbers work...

we can try to develop the system considering \(q_1\) and \(q_2\) are naturals...

\(\begin{cases}
x=q_1 n+3 \\
x=q_2 m+2 \\
\end{cases}\)

we can develop and see that

\(\frac{m}{n}=\frac{q_1}{q_2}\frac{x-2}{x-3} \ \ q_1,q_2 \in \mathbb{N}\)

We know that G.C.D(m.n)=1, then these are Irreducible fractions

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João Pimentel Ferreira
 
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Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Hi

You should read this
http://www.math.okstate.edu/~wrightd/crypt/lecnotes/node21.html

This regards the Chinese Remainder Theorem

The answer is:

- find the integers u and v such that

\(m\times u+n \times v=1\)

- then all solutions are:

\(x \eq (m.u)2+(n.v)3 \ \ (mod \ m.n)\)

regards

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João Pimentel Ferreira
 
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Thanks Professor.

Sir is There is any Good Book for Number Theory