santhiago,
\(= \frac{(k+1)[6k + 6 + k(2k+1)]}{6}\)
\(= \frac{(k+1)[(k + 2) + 3k+4+ k(2k+3)]}{6}\)
Poderia por favor me explicar como realizou esta passagem? Colocou o (k+2) em evidência? Não consigo chegar neste
resultado de jeito nenhum!
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| Indução Finita: 1² + 2² + ... + n² https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=71&t=1564 |
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| Autor: | danjr5 [ 13 jan 2013, 23:42 ] |
| Título da Pergunta: | Indução Finita: 1² + 2² + ... + n² |
danjr5 Escreveu: Prove por indução que \(1^2 + 2^2 + ... + n^2 =\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\) Quando faço \(\fbox{n = k + 1}\), a igualdade não é a esperada, não sei o porquê vejam: \(1^2 + 2^2 + ... + (k + 1)^2 = \frac{(k + 1)(k + 1 + 1)(2k + 2 + 1)}{6}\) \(\left ( 1^2 + 2^2 + ... + k^2 \right ) + 2k + 1 = \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6}\) \(\frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6} - \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} = 2k + 1\) \(\frac{k + 1}{6} \cdot \left [ (k + 2)(2k + 3) - k(2k + 1) \right ] = 2k + 1\) \(\frac{k + 1}{6} \cdot \left [ \cancel{2k^2} + 3k + 4k + 6 - \cancel{2k^2} - k \right ] = 2k + 1\) \(\frac{k + 1}{6} \cdot (6k + 6) = 2k + 1\) \((k + 1)(k + 1) = 2k + 1\) \(\fbox{\fbox{k^2 + 2k + 1 = 2k + 1}}\) Não consigo perceber o erro! |
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| Autor: | santhiago [ 14 jan 2013, 00:13 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Indução Finita: 1² + 2² + ... + n² [resolvida] |
Boa noite . Não seria \((1^2 + \dots + 2k^2 ) + 2k +1\) ??? Pois note que teremos \(k+1\) parcelas . Sendo , \(1^2 + 2^2 +\dots + k^2 + (k+1)^2\) .Parece que você desconsiderou o termo \(k^2\) da soma. Por favor verifique . |
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| Autor: | danjr5 [ 14 jan 2013, 00:21 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Indução Finita: 1² + 2² + ... + n² |
Santhiago, se entendi a explicação, substituí erradamente quando deveria ter acrescentado. É isso?! |
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| Autor: | santhiago [ 14 jan 2013, 02:55 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Indução Finita: 1² + 2² + ... + n² |
Boa noite, o que quero dizer é que você desconsiderou o termo \(k^2\) da soma parcial .De acordo com o seu desenvolvimento ,ficou \(1^2 + 2^2 + \dots + (k+1)^2\) . Isto estar errado , pois o correto é \(1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + k^2 +(k+1)^2\) . Conforme seu raciocínio teríamos \(( 1^2 + 2^2 + \dots + k^2 ) +2k + 1\) e não \(( 1^2 + 2^2 + \dots + 2k^2 ) +2k + 1\) que é o certo .Mas veja isto não tem fundamento algum .Qual o objetivo de adotar este método ? Como sugestão ,uma vez que mostramos a veracidade para o caso base e por conseguinte por passo indutivo vamos provar que é o resultado será válido para \(k+ 1\) . Note que , \(\sum_{i = 1}^{k+1} i^2 = (k+1)^2 + \sum_{i = 1}^{k} i^2\) . Como estamos supondo que o resultado é verdadeiro para \(n = k\) ,então \(\sum_{i = 1}^{k+1} i^2 = (k+1)^2 + \sum_{i = 1}^{k} i^2 = (k+1)^2 + \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\) \(= \frac{6(k+1)^2 +k(k+1)(2k+1)}{6} = \frac{(k+1)[6(k+1)+k(2k +1)]}{6}\) \(= \frac{(k+1)[6k + 6 + k(2k+1)]}{6}\) \(= \frac{(k+1)[(k + 2) + 3k+4+ k(2k+3)]}{6}\) \(= \frac{(k+1)[(2k+3)(k+1) + k+2+k+1]}{6}\) \(= \frac{(k+1)[(2k+3)(k+1+ 1) ]}{6}\) \(= \frac{(k+1)[(2k+3)(k+2) ]}{6}\) . Perceba que \(\frac{(k+1)[(2k+3)(k+2) ]}{6}\) é exatamente a expressão \(\frac{(n)[(2n+1)(n+1) ]}{6}\) para \(n = k+1\) . Espero que ajude . |
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| Autor: | xdanilex [ 13 fev 2013, 23:01 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Indução Finita: 1² + 2² + ... + n² |
santhiago, \(= \frac{(k+1)[6k + 6 + k(2k+1)]}{6}\) \(= \frac{(k+1)[(k + 2) + 3k+4+ k(2k+3)]}{6}\) Poderia por favor me explicar como realizou esta passagem? Colocou o (k+2) em evidência? Não consigo chegar neste resultado de jeito nenhum!
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| Autor: | santhiago [ 14 fev 2013, 00:32 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Indução Finita: 1² + 2² + ... + n² |
Vou fazer com mais detelhes ,ok ? OBS.: (1) n = k+1 (2) n+1 = k+2 (3) 2n+1 = 2k + 3 Devemos chegar em (***) (1)*(2)*(3)/6 . Temos : \((k+1)^2 + \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} = \frac{6(k+1)^2 +k(k+1)(2k+1) }{6} = \frac{(k+1)[6(k+1)+k(2k+1)]}{6}\) Sua dúvida estar na próximo passo ,certo ? Mas todo desenvolvimento em diante é desnecessário,não que esteja errado ,falta de atenção da minha parte neste dia . Veja : \(6(k+1)+k(2k+1)\) , Sendo \(2k+1 = (2k+1) +2 +(-2) = (2k+1 +2 ) - 2 = 2k+3 -2\) então , \(6(k+1)+k(2k+1) = 6(k+1) + k(2k + 3 - 2) = 6(k+1) + k([2k + 3] - 2) = 6k + 6 + k[2k + 3] -2k = 4k + 6 + k[2k + 3] = 2[2k + 3] + k[2k+3] = [2k+3][k+2]\) Ou seja , \(\frac{(k+1)[6(k+1)+k(2k+1)]}{6} = \frac{(k+1)(2k+3)(k+2)}{6}\) Respondendo sua dúvida , \((k+2) + 3k + 4 + k(2k+3) = 4k +6 + k(2k+3) = 2(2k+3) + k(2k+3) = (k+2)(2k+3)\) Ficou claro ? |
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| Autor: | xdanilex [ 15 fev 2013, 00:45 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Indução Finita: 1² + 2² + ... + n² |
Sim, valeu santhiago! 
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