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| Indução Finita: 1³ + 2³ + ... + n³ https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=71&t=1568 |
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| Autor: | danjr5 [ 15 jan 2013, 00:26 ] |
| Título da Pergunta: | Indução Finita: 1³ + 2³ + ... + n³ |
danjr5 Escreveu: Demonstre por indução finita \(\forall n \geq 1\) que \(1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2\) Gostaria de saber se o raciocínio empregado está correto, se houve alguma falha, por favor, apontem. Verificando quando \(\fbox{n = 1}\): 1³ = 1² 1 = 1 Quando \(\fbox{n = k}\): \(1^3 + 2^3 + ... + k^3 = (1 + 2 + ... + k)^2\) Por fim, quando \(\fbox{n = k + 1}\): \(\\ \underbrace{1^3 + 2^3 + ... + k^3} + (k + 1)^3 = [1 + 2 + ... + k + (k + 1)]^2 \\\\ (1 + 2 + ... + k)^2 + (k + 1)^3 = [1 + 2 + ... + k + (k + 1)]^2\) A partir daqui, comecei dar várias voltas que não levavam a lugar algum. Depois de MUUUITAS tentativas, tive a ideia de inserir P.A (soma dos termos), e essa é minha dúvida - posso fazer isso? Pois deu certo! Contin... \(\left [ \frac{(1 + k)k}{2} \right ]^2 + (k + 1)^3 = \left [ \frac{(1 + k + 1)(k + 1)}{2} \right ]^2\) \(\frac{k^2(k + 1)^2}{4} + (k + 1)^3 = \frac{(k + 2)^2(k + 1)^2}{4}\) \(\cancel{(k + 1)^2} \left [ \frac{k^2}{4} + (k + 1) \right ] = \frac{\cancel{(k + 1)^2}(k + 2)^2}{4}\) \(\frac{k^2}{4} + (k + 1) = \frac{(k + 2)^2}{4}\) \(\fbox{\frac{k^2}{4} + k + 1 = \frac{k^2}{4} + k + 1}\) Att, Daniel F. |
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| Autor: | josesousa [ 15 jan 2013, 12:36 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Indução Finita: 1³ + 2³ + ... + n³ |
Está correctíssimo. |
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| Autor: | danjr5 [ 15 jan 2013, 22:05 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Indução Finita: 1³ + 2³ + ... + n³ |
Obrigado José Sousa! Até a próxima. |
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