A demonstração pode ser feita por redução ao absurdo. Suponhamos que, dado um número irracional x, o seu produto por um número racional q = m/n é racional. Nesse caso teríamos

\(\frac{m}{n} \,\, x\,\,= \frac{\tilde{m}}{\tilde{n}}, \qquad m,n,\tilde{m},\tilde{n} \in \mathbb{Z}\)

Mas assim também seria verdade que

\(x = \frac{\tilde{m} n}{\tilde{n} m}\)

i.e. x seria quociente de dois inteiros, o que contradiz a hipótese de ser irracional. Concluímos portanto que o produto em analise não pode ser racional, tendo por isso que ser irracional.