Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Use o método de redução ao absurdo para provar a seguinte proposição:

Não há solução racional para a equação:

x^5 = x^4 + x^3 + x² + 1 = 0

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Pessoal, consegui desmembrar a equação e chegar em:

a/b^5 + a/b^4 + a/b^3 + a/b^2 = -1

O que mais posso fazer?

Resolvi da seguinte maneira, não sei se vai ao encontro do esperado...

O post inicial tinha certamente uma pequena gralha... deveria ser x^5 + ... e não x^5 = ...

olhando para o post inicial agora tambem me parece ... ahahah

sim, há uma falha mesmo, me desculpe x^5 +... é o certo

Suponhamos por absurdo que a equação tem uma raíz racional p/q e admitamos, sem perda de generalidade, que p e q são coprimos (não têm divisores comuns além de 1 ou -1). Então

1. \((p/q)^5+(p/q)^4+(p/q)^3+(p/q)^2+1 = 0 \Leftrightarrow p^5 + p^4 q + p^3 q^2 + p^2 q^3 = -q^5 \Leftrightarrow p(p^4+p^3q+p^2q^2+p q^3) = - q^5\)

Nesse caso p divide \(-q^5\) mas, como p é coprimo com q e por isso com q^5, concluímos que p divide \(\pm 1\), pelo que \(p = \pm 1\)

2. Pegando na segunda expressão no ponto 1, também podemos escrever
\(q(p^4+p^3 q + p^2 q^2+q^4) = -p^5\)

Raciocinando do mesmo modo que anteriormente concluímos que q divide -1, pelo que \(\pm 1\)

3. Deste modo concluímos que uma solução racional da eq. só pode ser \(\pm 1\).

Ora, como podemos verificar que 1 e -1 não soluções da equação, concluímos que a mesma não pode ter soluções racionais.


OBS. De modo similar, pode provar que qualquer raíz racional \(x = p/q\) de um polinómio de coeficientes inteiros
\(a_n x^n + \cdots + a_0, \qquad a_n \ne 0, a_0 \ne 0\)
deve verificar as condições: i) p é factor de a_0 ii) q é factor de a_n.

Obrigado mais uma vez Sobolev, tenho uma dúvida, talvez básica, poderia me ajudar mais uma vez?

Você disse que:

1 - "Suponhamos por absurdo que a equação tem uma raíz racional p/q e admitamos, sem perda de generalidade, que p e q são coprimos (não têm divisores comuns além de 1 ou -1)."

2 - "Nesse caso p divide \(-q^5\) mas, como p é coprimo com q e por isso com q^5, concluímos que p divide \(\pm 1\), pelo que \(p = \pm 1\)"

E eu pergunto:

1 - Segundo a primeira frase, p/q tal que p e q são coprimos, vamos supor que p = 25 e q = 9.Ambos só tem os divisores comuns -1 e 1.

2 - Mas não entendi a segunda frase, como concluiu que p divide \(\pm 1\), Supondo p = 25, p não divide 1 ou -1, logo não se pode afirmar que \(p = \pm 1\).


Talvez eu não tenha enxergado algo básico, não sei...

A afirmação que refere não é verdadeira para todos os co-primos... ela vem da igualdade final obtida em (1). O absurdo é obtido precisamente ao vermos que a igualdade só poderia ser satisfeita para valores muito particulares de p e q...

Se chegamos à conclusão que p divide q mas p e q são coprimos, de facto p tem que ser 1 ou -1. Se p não fosse 1 ou -1, então p seria um divisor comum a p e q, pelo que não seriam co-primos.