Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Demonstre que \(5^n - 1\) é múltiplo de 24 para todo número natural \(n\) par.

Não estou mui certo do que fiz!
Desde já agradeço.

Daniel.

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Daniel Ferreira
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Tambem tenho curiosidade se é de todo possivel resolver este problema...
A indução funciona da seguinte maneira:
Assumimos que \(S(n)\) é verdade , neste caso, \(S(n) = 5^{n} - 1\), n par ∊ \(\mathbb{N}\), é múltiplo de 24.
Testamos com \(S(1)\) onde neste caso \(S(1)\) iria falhar....

Poderíamos rescrever o problema como sendo \(S(n) = 5^{2n} - 1\)
Testando \(S(1)\) iriamos obter \(S(1) = 5^{2} -1 = 24\) , logo múltiplo de 24.
Mas o próximo passo é , assumindo que \(S(n)\) é verdade, testamos \(S(n+1)\) e ai, mais uma vez iria falhar devido à natureza do problema.

Aguardo uma resposta para este problema

Boa noite,

Aqui vai o meu desenvolvimento para a avaliação dos colegas:

\(S(0): 5^0 - 1 = 0 = 24 \cdot 0 => \text{Ok}\).

Vamos supor, para \(n=k\) par, que é válida a expressão:

\(S(k): 5^k - 1 = 24p => \text{Ok}\), por hipótese.

Verifiquemos se a expressão é válida para o próximo par, \(k+2\):

\(S(k+2): 5^{k+2} - 1 = 5^2 \cdot 5^k - 25 + 24 = (5^k-1) \dot 5^2 + 24 = 24p \cdot 5^2 + 24 = 24 \cdot (5^2 \cdot p + 1)\). E isso mostra que a expressão é válida para todo \(n\) par.

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Fraol
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Olá SergioMonteiro,
seja bem-vindo a equipe!
A meu ver, seu raciocínio está correto. Apenas não entendi por que considera falho \(S(1)\), uma vez que, é múltiplo de 24!

Vejamos o \(S(2)\):

\(\\ S(n) = 5^{2n} - 1 \\\\ S(2) = 5^4 - 1 \\\\ S(2) = 624 \\\\ S(2) = 24 \times 26\)


Fraol,
mais uma vez agradeço.
Eu estava concluindo o problema de maneira errada. Mas, agora entendi!

Até a próxima!!

Daniel.

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Daniel Ferreira
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\(S(1)\)falha porque a condição inicial é que n é par!!!!


se
\(S(n) = 5^{n}-1\) com n par pertencente a N
\(S(1) = 5^{1}-1 = 4\) não é múltiplo de 24, n não é par!!!

Quanto eu sei, [\(S(n) = 5^{n}-1\) com n par pertencente a N] nem é "candidato" a indução, pois esta funciona para todos os n pertence a N, e não de dois em dois n.


Poderíamos tentar remediar essa situação com o seguinte:
\(S(n) = 5^{2n}-1\) para qualquer n pertence a N
\(S(1) = 5^{2}-1 = 24\) OK
\(S(n+1) = 5^{2n+1}-1\) , onde iria falhar logo em n=1 pois \(S(1+1) = 5^{2+1}-1 = 124\) que não é múltiplo de 24.

Teria muito gosto que alguém que compreendesse esta matéria me pudesse esclarecer melhor, mas penso estar certo no que disse.

SergioMonteiro,
boa tarde!

Fiz assim:

Uma vez que, \(5^n - 1\) é múltiplo de 24, então: \(\fbox{24|(5^n - 1)}\)

Se \(n\) é par, então podemos fazer \(n = 2p\). Com isso, temos \(\fbox{24|(5^{2p} - 1)}\) que pode ser escrito na forma... \(\fbox{5^{2p} - 1 = 24q}\) para algum \(q \in \mathbb{Z}\).


Aplicando a indução em \(p\), segue que:


- Quando \(\fbox{p = 1}\)

\(\\ 5^{2p} - 1 = 24q \\\\ 5^{2 \cdot 1} - 1 = 24q \\\\ 5^2 - 1 = 24q \\\\ 24 = 24q \\\\ \fbox{\fbox{24|24}}\)
Portanto, é válido!!


- Hipótese: \(\fbox{p = k}\)

\(5^{2p} - 1 = 24q \\\\ 5^{2k} - 1 = 24q \\\\ \fbox{\fbox{24|(5^{2k} - 1)}}\)


- Tese: \(\fbox{p = k + 1}\)

\(\\ 5^{2p} - 1 = 24q \\\\ 5^{2(k + 1)} - 1 = 24q \\\\ 5^{2k + 2} - 1 = 24q \\\\ 5^{2k} \cdot 5^2 - 1 = 24q \\\\ 25 \cdot 5^{2k} - 1 = 24q \\\\ 24 \cdot 5^{2k} + \underbrace{5^{2k} - 1} = 24q \\\\ 24 \cdot 5^{2k} + 24q = 24q \\\\ \fbox{\fbox{24|(24 \cdot 5^{2k} + 24q)}}\)
C.q.d

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Daniel Ferreira
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Boa noite,

Talvez, para maior clareza, fosse melhor induzir em \(p \in N\) para \(n = 2p\), qual letra se usa não é importante, posto que n é par pelas condições do problema.

Assim:

\(S(0): 5^{2 \cdot 0}-1\) é múltiplo de 24.

\(S(k): 5^{2 \cdot k}-1\) é múltiplo de 24 = Hipótese de indução.

\(S(k+1): 5^{2 \cdot (k+1)}-1 =\) seria a tese que deve ser provada, com aliás já fizemos acima.

Observemos que \(5^{2 \cdot (k+1)}-1 = 5^{(2 \cdot k + 2)}-1\).

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Fraol
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Já descobri o meu erro



\(S(n+1) = 5^{2(n+1)} - 1\)
\(S(n+1) = 5^{2n+2} -1\)

se n = 1 fica:

\(S(1+1) = 5^{2+2} - 1 = 624\), múltiplo de 24

Como é que se passa da primeira para a segunda linha?



devo confessar que não percebi o que o daniel escreveu, para alem de que no fim só provou algo que já é obvio a meu ver.
Qualquer numero multiplicado por 24 e sumado a qualquer numero múltiplo de 24 será sempre divisível por 24!