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Divisibilidade https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=71&t=1658 |
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Autor: | danjr5 [ 27 jan 2013, 00:05 ] |
Título da Pergunta: | Divisibilidade |
Dada a expressão \(a^3b - ab^3 = c\), onde \(a\) e \(b\) são números inteiros quaisquer. Então, o número \(c\) é sempre divisível por: a) 4 b) 2 c) 5 d) 7 e) 8 Obs.: não tenho o gabarito! |
Autor: | santhiago [ 27 jan 2013, 03:01 ] |
Título da Pergunta: | Re: Divisibilidade [resolvida] |
Boa noite .Pensei em separar em 3 casos a e b simultaneamente pares e ímpares e apenas um dos dois par . Se a e b são pares então , \(a = 2 \cdot t\) e \(b = 2 t^{*}\) para \(t ,t^{*}\) naturais . Neste caso , \(c = ab(a^2 - b^2) = ab(a-b)(a+b) = 4 t \cdot t^{*} (2t - 2t^{*})(2t + 2t^*) = 16 \cdot t\cdot t^* (t-t^*)(t+t^*)\) . c será divsível por 16 Entretanto , para \(a\) ímpar e \(b\) par : \(c = 2 t^*(2t + 1)(2[t-t^*] + 1)(2[t+t^*]+1)\) \(\rightarrow\) c será divsível por 2 Para a par e b ímpar é análogo . Para ambos ímpares , \(c = (2t+1)(2t^*+1)(2t + 1 - 2t^* - 1)(2t+1 + 2t^* + 1) = (2t+1)(2t^*+1)(2[t-t^*])(2[t + t^* + 1]) = 4 (2t+1)(2t^*+1)([t-t^*])(t + t^* + 1)\) \(\rightarrow\) c será divsível por 4 . Logo , c sempre será divisível por 2 . Espero que esteja correto . |
Autor: | danjr5 [ 27 jan 2013, 03:36 ] |
Título da Pergunta: | Re: Divisibilidade |
Santhiago, também achei \(\fbox{2}\) como resposta, no entanto, fiz de maneira menos formal: atribuí valores a \(a\) e \(b\)... Obrigado. Até a próxima! |
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