Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Sejam \(a\) e \(b\) inteiros positivos. Se \(a^2 + b^2\) é divisível por \(ab\), prove que \(a = b\)

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Daniel Ferreira
_{se gosta da resposta,
RESPONDA A QUEM PRECISA}

Se ab divide a² + b² teremos

\(a^2 + b^2 = k ab \Leftrightarrow
a^2 - 2 a b +b^2 = (k-2) a b \Leftrightarrow
(a-b)^2 = (k - 2) a b\)

Pelo que

\(a |(a - b), \qquad b|(a-b)\)

Dado que a, b são inteiros positivos, a única forma de isto ser possível será que a -b =0, ou seja, a = b.