Fórum de Matemática
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Por favor, ajudem a resolver este problema:

Se n=2p, onde p é um número primo diferente de dois, então a^(n-1)=a( mod n) para todo inteiro a.

A condição \(a^{n-1}\equiv a (mod n)\) é equivalente a dizer que \(a^{n-1}-a\) é múltiplo de \(n\). Como \(n=2p\), temos que \(a^{n-1}-a=a(a^{2p-2}-1)=a(a^{p-1}+1)(a^{p-1}-1)\). Para qualquer inteiro \(a\), \(a(a^{p-1}+1)\) é múltiplo de 2. Se \(a\) for múltiplo de \(p\) então \(a(a^{p-1}+1)\) é múltiplo de \(n=2p\). Se \(a\) não for múltiplo de \(p\) então \(a^{p-1}-1\) é múltiplo de \(p\) (pelo pequeno teorema de Fermat). Logo \(a(a^{p-1}+1)(a^{p-1}-1)\) é múltiplo de \(n=2p\).

Obrigado, Rui. Uma abraço!