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| Demonstração da equação https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=71&t=1705 |
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| Autor: | xdanilex [ 01 fev 2013, 15:06 ] |
| Título da Pergunta: | Demonstração da equação |
Demonstre que para todo inteiro positivo n vale: 1³ + 2³ + ... + n³ = (1/2n(n+1))² |
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| Autor: | Sobolev [ 01 fev 2013, 18:28 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Demonstração da equação [resolvida] |
A propriedade a provar é P(n): \(\sum_{i=1}^n i^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2}\right)^2\) 1. Provar que a propriedade é verdadeira para n=1. ok! 2. Tomando como hipótese a veracidade de P(n) mostrar que P(n+1) é também verdadeira. Isto é, mostrar que \(\sum_{i=1}^n i^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \Rightarrow \sum_{i=1}^{n+1} i^3 = \left( \frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2\). Ora, \(\sum_{i=1}^{n+1} i^3 = (n+1)^3 + \sum_{i=1}^{n} i^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2}\right)^2 + (n+1)^3 = \frac{(n+1)^2}{4} \left( n^2 + 4(n+1) \right) = \frac{n^2}{4}(n+2)^2 = \left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2\). |
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| Autor: | xdanilex [ 02 fev 2013, 15:35 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Demonstração da equação |
Muito Obrigado sobolev! Poderia me dizer qual a maneira mais simples de fazer a seguinte passagem? Sempre acabo fazendo procedimentos bem longos, é assim mesmo? Ora, \(\sum_{i=1}^{n+1} i^3 = (n+1)^3 + \sum_{i=1}^{n} i^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2}\right)^2 + (n+1)^3 = \frac{(n+1)^2}{4} \left( n^2 + 4(n+1) \right) = \frac{n^2}{4}(n+2)^2 = \left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2\).[/quote] |
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| Autor: | Sobolev [ 02 fev 2013, 22:02 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Demonstração da equação |
Não existiu nenhum passo intermédio... apenas coloquei em evidência \(\frac{(n+1)^2}{4}\), uma vez que são termos que figuram na expressão a que se pretendia chegar. |
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| Autor: | xdanilex [ 15 fev 2013, 19:41 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Demonstração da equação |
Chegando até aqui entendi, mas agora não consigo chegar em n²/4 . (n+2)^2... \(\frac{(n+1)^2}{4} \left( n^2 + 4(n+1) \right) = \frac{n^2}{4}(n+2)^2 = \left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2\).[/quote][/tex] |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 15 fev 2013, 20:33 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Demonstração da equação |
xdanilex Escreveu: Chegando até aqui entendi, mas agora não consigo chegar em n²/4 . (n+2)^2... \(\frac{(n+1)^2}{4} \left( n^2 + 4(n+1) \right) = \frac{n^2}{4}(n+2)^2 = \left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2\). foi apenas um pequeno erro ao escrever, pois o resultado final está certo \(\frac{(n+1)^2}{4} \left( n^2 + 4(n+1) \right) = \frac{(n+1)^2}{4}(n+2)^2 = \left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2\). lembre-se que \((n+2)^2=n^2+4n+4\) Excelente resolução caro Sobolev :) Fiquei a perceber como se resolve por indução, quando há somas de vários termos, algo que nunca havia assimilado corretamente Cumprimentos |
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