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| teorema de Fermat https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=71&t=1753 |
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| Autor: | Walter R [ 08 fev 2013, 17:02 ] |
| Título da Pergunta: | teorema de Fermat |
Dado que para um p primo e da forma 4k+3: \(\left ( \frac{p-1}{2} \right )!= 1 (mod p)\) ou \(\left ( \frac{p-1}{2} \right )!= -1 (mod p)\) e \(\left ( \frac{p-1}{2} \right )!\) satisfaz a congruência quadrática \(x^{2}= 1 (mod p)\) Mostre que se p é um primo da forma 4K+3, então o produto de todos os inteiros pares menores do que p é congruente múdulo p a +-1 (mais ou menos um). Dica: o Teorema de fermat implica que \(2^{(p-1)/2}=+- 1 (modp)\) Mesmo com a dica, não consegui resolver. Agradeço se alguém der alguma ajuda! |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 10 fev 2013, 22:13 ] |
| Título da Pergunta: | Re: teorema de Fermat |
Não percebi bem qual é a questão. Se a questão é Citar: Mostre que se p é um primo da forma 4K+3, então o produto de todos os inteiros pares menores do que p é congruente múdulo p a +-1 (mais ou menos um). então é questão de observar que "o produto de todos os inteiros pares menores do que p" (costuma-se usar a notação \((p-1)!!\)) é igual a \((p-1)!!=2^{\frac{p-1}{2}}\times \left(\frac{p-1}{2}\right)!\).Assim, se tanto \(\left(\frac{p-1}{2}\right)!\equiv \pm 1\mbox{ mod}p\) (mostar tal também faz parte do exercício?) como \(2^{\frac{p-1}{2}}\equiv \pm 1\mbox{ mod}p\) (resulta do teorema de Fermat: \(2^{p-1}\equiv 1\mbox{ mod}p\)), então \((p-1)!!\) também congruente com mais ou menos um módulo p. |
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| Autor: | Walter R [ 11 fev 2013, 01:13 ] |
| Título da Pergunta: | Re: teorema de Fermat |
Boa noite, Rui. Minha dificuldade é justamente estabelecer que \((p-1)!! = 2^{(p-1)/2}\left ( \frac{p-1}{2} \right )!\) |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 12 fev 2013, 22:47 ] |
| Título da Pergunta: | Re: teorema de Fermat |
Para simplificar, tomemos um exemplo: \(10!!=10\times 8\times 6\times 4\times 2=(2\times 5)\times (2\times 4)\times (2\times 3)\times (2\times 2)\times (2\times 1)=2^5\times 5!\) Assim fica mais visível a igualdade \((2k)!!=2^k\times k!\) (observe-se que \((2k)!!=\prod_{i=1}^{k}2i=\left(\prod_{i=1}^{k}2\right)\times\left(\prod_{i=1}^{k}i\right)=2^k\times k!\)) ou a igualdade \((p-1)!!=\left(2\times\frac{p-1}{2}\right)!=2^{\frac{p-1}{2}}\times \left(\frac{p-1}{2}\right)!\) |
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| Autor: | Walter R [ 14 fev 2013, 14:39 ] |
| Título da Pergunta: | Re: teorema de Fermat [resolvida] |
Agora ficou claro! Obrigado mais uma vez, Rui. |
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