Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Prove que para todo n positivo vale:

\(1 + 2 + 2^2 + ... + 2^{n - 1} = 2^n - 1\)

Trata-se de uma simples soma de P.G. com \(a_{1}=1\) razão igual a 2 e números de termos igual a n

Basta a aplicar a fórmula
\(Soma=a_{1}.\frac{q^n-1}{q-1}\)

Outra forma...
Por indução:

Quando \(\fbox{n = 1}\):

\(2^{1 - 1} = 2^1 - 1 \\\\ 2^0 = 2 - 1 \\\\ \fbox{1 = 1}\)


Hipótese \(\fbox{n = k}\):

\(\\ 1 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^{(n - 1)} = 2^n - 1 \\\\ \fbox{1 + 2^1 + ... + 2^{(k - 1)} = 2^k - 1}\)


Tese \(\fbox{n = k + 1}\):

\(\\ 1 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^{(n - 1)} = 2^n - 1 \\\\ \underbrace{1 + 2^1 + ... + 2^{(k - 1)}}_{2^k - 1} + 2^{(k + 1 - 1)} = 2^{(k + 1)} - 1 \\\\ 2^k - 1 + 2^k = 2^k \cdot 2^1 - 1 \\\\ 2^k - 1 + 2^k = (1 + 1) \cdot 2^k - 1 \\\\ \fbox{2^k - 1 + 2^k = 2^k - 1 + 2^k}\)

Cqd.

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Daniel Ferreira
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poderia enviar novamente quando n=1? não consigo visualizar a imagem...

Nem havia reparado, me desculpe!

Quando n = 1

2^(n - 1) = 2^n - 1

2^(1 - 1) = 2¹ - 1

2^0 = 2 - 1

1 = 1

Portanto, ok!

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Daniel Ferreira
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Você chegou em:

\(\fbox{2^k - 1 + 2^k = 2^k - 1 + 2^k}\)

Porém no lado esquerdo, não deveria ficar:

\(\fbox{2^{k-1} + 2^k = 2^k - 1 + 2^k}\) ?

E então não haveria igualdade...

Note que \(\fbox{2^k - 1 + 2^k = 2^k - 1 + 2^k}\) é diferente de \(\fbox{2^{(k - 1)} + 2^k = 2^k - 1 + 2^k}\)

Poderíamos ter feito...

\(1 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^{(n - 1)} = 2^n - 1\)

\(\underbrace{1 + 2^1 + ... + 2^{(k - 1)}}_{2^k - 1} + 2^{(k + 1 - 1)} = 2^{(k + 1)} - 1\)

\(2^k - 1 + 2^k = 2^k \cdot 2^1 - 1\)

2^k + 2^k - 1 = 2 . 2^k - 1

2^k(1 + 1) - 1 = 2 . 2^k - 1

2 . 2^k - 1 = 2 . 2^k - 1

Não sei o motivo, mas o LaTeX não está aparecendo!

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Daniel Ferreira
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