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| Prove que 1 + 2 + 2² + .... = 2^n - 1 https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=71&t=1803 |
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| Autor: | xdanilex [ 15 fev 2013, 00:49 ] |
| Título da Pergunta: | Prove que 1 + 2 + 2² + .... = 2^n - 1 |
Prove que para todo n positivo vale: \(1 + 2 + 2^2 + ... + 2^{n - 1} = 2^n - 1\) |
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| Autor: | lucasmb254 [ 15 fev 2013, 02:26 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Prove que 1 + 2 + 2² + .... = 2^n - 1 |
Trata-se de uma simples soma de P.G. com \(a_{1}=1\) razão igual a 2 e números de termos igual a n Basta a aplicar a fórmula \(Soma=a_{1}.\frac{q^n-1}{q-1}\) |
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| Autor: | danjr5 [ 17 fev 2013, 16:19 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Prove que 1 + 2 + 2² + .... = 2^n - 1 |
Outra forma... Por indução: Quando \(\fbox{n = 1}\): \(2^{1 - 1} = 2^1 - 1 \\\\ 2^0 = 2 - 1 \\\\ \fbox{1 = 1}\) Hipótese \(\fbox{n = k}\): \(\\ 1 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^{(n - 1)} = 2^n - 1 \\\\ \fbox{1 + 2^1 + ... + 2^{(k - 1)} = 2^k - 1}\) Tese \(\fbox{n = k + 1}\): \(\\ 1 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^{(n - 1)} = 2^n - 1 \\\\ \underbrace{1 + 2^1 + ... + 2^{(k - 1)}}_{2^k - 1} + 2^{(k + 1 - 1)} = 2^{(k + 1)} - 1 \\\\ 2^k - 1 + 2^k = 2^k \cdot 2^1 - 1 \\\\ 2^k - 1 + 2^k = (1 + 1) \cdot 2^k - 1 \\\\ \fbox{2^k - 1 + 2^k = 2^k - 1 + 2^k}\) Cqd. |
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| Autor: | xdanilex [ 17 fev 2013, 17:01 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Prove que 1 + 2 + 2² + .... = 2^n - 1 |
poderia enviar novamente quando n=1? não consigo visualizar a imagem... |
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| Autor: | danjr5 [ 17 fev 2013, 17:07 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Prove que 1 + 2 + 2² + .... = 2^n - 1 |
Nem havia reparado, me desculpe! Quando n = 1 2^(n - 1) = 2^n - 1 2^(1 - 1) = 2¹ - 1 2^0 = 2 - 1 1 = 1 Portanto, ok! |
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| Autor: | xdanilex [ 17 fev 2013, 17:21 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Prove que 1 + 2 + 2² + .... = 2^n - 1 |
Você chegou em: \(\fbox{2^k - 1 + 2^k = 2^k - 1 + 2^k}\) Porém no lado esquerdo, não deveria ficar: \(\fbox{2^{k-1} + 2^k = 2^k - 1 + 2^k}\) ? E então não haveria igualdade... |
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| Autor: | danjr5 [ 17 fev 2013, 17:54 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Prove que 1 + 2 + 2² + .... = 2^n - 1 [resolvida] |
Note que \(\fbox{2^k - 1 + 2^k = 2^k - 1 + 2^k}\) é diferente de \(\fbox{2^{(k - 1)} + 2^k = 2^k - 1 + 2^k}\) Poderíamos ter feito... \(1 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^{(n - 1)} = 2^n - 1\) \(\underbrace{1 + 2^1 + ... + 2^{(k - 1)}}_{2^k - 1} + 2^{(k + 1 - 1)} = 2^{(k + 1)} - 1\) \(2^k - 1 + 2^k = 2^k \cdot 2^1 - 1\) 2^k + 2^k - 1 = 2 . 2^k - 1 2^k(1 + 1) - 1 = 2 . 2^k - 1 2 . 2^k - 1 = 2 . 2^k - 1 Não sei o motivo, mas o LaTeX não está aparecendo! |
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