Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Demonstre que para todo inteiro positivo \(n\) vale:

\(n < 2^n\)

Por indução:

- Quando \(\fbox{n = 1}\)

\(\\ n < 2^n \\\\ 1 < 2^1 \\\\ \fbox{1 < 2}\)
Ok!


- Tomemos como hipótese \(\fbox{n = k}\), então:

\(\\ n < 2^n \\\\ \fbox{k < 2^k}\)

Se é válido para \(k\), então, pelo PIF também é para \(\fbox{n = k + 1}\).

Verifiquemos...

\(\\ n < 2^n \\\\ (k + 1) < 2^{(k + 1)} \\\\ k + 1 < 2^k \cdot 2^1 \\\\ 1 + k < 2 \cdot 2^k \\\\ 1 + k < (1 + 1)2^k \\\\ 1 + \underbrace{k < 2^k}_{hip.} + 2^k\)

É fácil perceber que \(\fbox{1 < 2^k}\). Cqd!

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Daniel Ferreira
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