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| Demonstre que n < 2^n https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=71&t=1815 |
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| Autor: | xdanilex [ 17 fev 2013, 15:19 ] |
| Título da Pergunta: | Demonstre que n < 2^n |
Demonstre que para todo inteiro positivo \(n\) vale: \(n < 2^n\) |
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| Autor: | danjr5 [ 17 fev 2013, 15:48 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Demonstre que n < 2^n [resolvida] |
Por indução: - Quando \(\fbox{n = 1}\) \(\\ n < 2^n \\\\ 1 < 2^1 \\\\ \fbox{1 < 2}\) Ok! - Tomemos como hipótese \(\fbox{n = k}\), então: \(\\ n < 2^n \\\\ \fbox{k < 2^k}\) Se é válido para \(k\), então, pelo PIF também é para \(\fbox{n = k + 1}\). Verifiquemos... \(\\ n < 2^n \\\\ (k + 1) < 2^{(k + 1)} \\\\ k + 1 < 2^k \cdot 2^1 \\\\ 1 + k < 2 \cdot 2^k \\\\ 1 + k < (1 + 1)2^k \\\\ 1 + \underbrace{k < 2^k}_{hip.} + 2^k\) É fácil perceber que \(\fbox{1 < 2^k}\). Cqd! |
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