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| Congruência (Teorema do resto chinês) https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=71&t=1874 |
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| Autor: | Thiago Manhães Lima [ 24 fev 2013, 20:00 ] |
| Título da Pergunta: | Congruência (Teorema do resto chinês) [resolvida] |
Determine, se possível, o menor inteiro \(x \geq 301\) que satisfaça o sistema \(\\ x \equiv 1 \; \text{mod} \; (3) \\ x \equiv 2 \; \text{mod} \; (4) \\ 2x \equiv 3 \; \text{mod} \; (5)\) |
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| Autor: | Man Utd [ 31 ago 2013, 14:22 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Congruência |
\(\\\\ x\equiv 1mod(3)\\ x\equiv 2mod(4)\\ 2x\equiv 3mod(5)\) pegando a primeira congruência temos: \(\\\\ x\equiv 1mod(3)\Leftrightarrow x=3b+1 ,(I)\) , agora substituindo na segunda congruência temos: \(\\\\ 3b+1\equiv 2mod(4)\\\\ 3b\equiv1mod(4)\\\\ -5*3b\equiv1*-5mod(4)\\\\ -15b\equiv-5mod(4) \\\\ b\equiv-1mod(4)\Leftrightarrow b=4c-1,(II)\) susbstituindo (II) em (I): \(\\\\ x=3b+1 \\\\ x=3(4c-1)+1\\\\ x=12c-2,(III)\) susbtituindo na terceira congruência temos : \(\\\\ 2x\equiv 3mod(5)\\\\ 2(12c-2)\equiv 3mod(5)\\\\ 24c\equiv 7mod(5) \\\\ -24c\equiv -7mod(5) \\\\ c\equiv 3mod(5)\Leftrightarrow c=5d+3, (IV)\) susbtituindo (IV) em (III) : \(\\\\ x=12c-2 \\\\ x=12(5d+3)-2 \\\\ x=60d+34\) como x>=301 então tomemos d=5 , x=334 |
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