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| Quem é maior ∛60 ou 2 + ∛7 https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=71&t=2011 |
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| Autor: | DanielBrandãoMenezes [ 14 mar 2013, 02:24 ] |
| Título da Pergunta: | Quem é maior ∛60 ou 2 + ∛7 |
Olá, tentei resolver tal problema por fatoração, mas não encontrei uma solução plausível que não fosse estimando, então gostaria de saber se existe uma maneira mais prática e direta. Quem é maior \(\sqrt[3]{60}\) ou \(2 + \sqrt[3]{7}\) |
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| Autor: | Wolfman [ 14 mar 2013, 20:47 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Quem é maior ∛60 ou 2 + ∛7 |
Sem certezas, mas achando que estou a contribuir fica assim: 60¹\³ e 2³\³ + 7¹\³ fica 9⁴\³ 2+... é maior porque tem expoente maior! Julgo... Depois diz se está certo ou errado_! |
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| Autor: | DanielBrandãoMenezes [ 14 mar 2013, 22:01 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Quem é maior ∛60 ou 2 + ∛7 |
Não podemos realizar essa conta que vc fez.... |
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| Autor: | Wolfman [ 14 mar 2013, 23:04 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Quem é maior ∛60 ou 2 + ∛7 |
Bem me parecia... As bases têm de ser iguais!! |
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| Autor: | danjr5 [ 24 mar 2013, 21:20 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Quem é maior ∛60 ou 2 + ∛7 |
\(\\ 2 + \sqrt[3]{7} = \\\\ \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{7} =\) Sabemos que, \(\\ \sqrt[3]{8} \times \sqrt[3]{7} > \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{7} \\\\ \sqrt[3]{8 \times 7} > \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{7} \\\\ \fbox{\sqrt[3]{56} > \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{7}}\) Logo, \(\fbox{\fbox{\fbox{\sqrt[3]{60} > 2 + \sqrt[3]{7}}}}\) |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 25 mar 2013, 19:04 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Quem é maior ∛60 ou 2 + ∛7 |
danjr5 Escreveu: Sabemos que, \(\sqrt[3]{8} \times \sqrt[3]{7} > \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{7}\) Infelizmente tal não é verdade.  Tem que haver outra maneira mas não estou ver qual (sem ser uns fastidiosos cálculos com desenvolvimentos de Taylor). |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 25 mar 2013, 21:34 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Quem é maior ∛60 ou 2 + ∛7 |
Seguindo a sugestão do prof. Rui Carpenier Sabemos pela expansão em série dos binómios, que \((1 + x)^\alpha = \sum_{k=0}^{\infty} \; {\alpha \choose k} \; x^k\) logo fazendo uma substituição \(1+x=z\) e \(\alpha=1/3\) temos que \((z)^{1/3} = \sum_{k=0}^{\infty} \; {1/3 \choose k} \; (z-1)^k\) simplificando temos que saber se \(\sum_{k=0}^{\infty} {1/3 \choose k} (59^k-6^k)\) é maior que \({2}\) mas confesso que também não sei avançar.... |
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| Autor: | Fraol [ 25 mar 2013, 23:36 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Quem é maior ∛60 ou 2 + ∛7 |
Olá, boa noite. Gostaria de entrar nessa discussão. Não saquei bem em que nível de ensino essa questão foi colocada. Pode ser que o questionador queira uma solução via produtos notáveis. Contudo vou levar a minha participação pelo lado da análise de funções. A função \(\sqrt[3]{x}\) é côncava para \(x \in [0, + \infty )\), que é o caso desse problema, certo? Corrijam-me os professores se equivoco-me. Para uma função assim temos que: \(f \left( \frac{x_1+x_2}{2}\right) \ge \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\), esse resultado pode ser visto aqui. Assim se fizermos \(f(x) = \sqrt[3]{x}, x_1 = 7, x_2 = 8\) então teremos: \(f \left( \frac{7+8}{2}\right) \ge \frac{f(7)+f(8)}{2}\) \(\Rightarrow \sqrt[3]{\frac{15}{2}} \ge \frac{\sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{8}}{2} \Leftrightarrow \left( \sqrt[3]{\frac{15}{2}} \right)^3 \ge \left( \frac{\sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{8}}{2} \right)^3 \Leftrightarrow \frac{15}{2} \ge \frac{\left( \sqrt[3]{7} +2 \right)^3}{8} \Leftrightarrow 60 \ge \left( \sqrt[3]{7} +2 \right)^3 \Leftrightarrow \sqrt[3]{60} \ge \sqrt[3]{7} + 2\) E assim temos o resultado para a questão. |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 26 mar 2013, 00:27 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Quem é maior ∛60 ou 2 + ∛7 [resolvida] |
Caro Francisco Excelente raciocínio, parece-me que está certo  Saudações pitagóricas |
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